Considere o arranjo de capacitores em “ponte de condensadores” (similar à ponte de Wheatstone). Se os capacitores nos braços da ponte satisfazem a relação
determine a carga armazenada no capacitor central
conectado entre os nós centrais. Explique a analogia deste problema com a distribuição de potenciais em condutores.
Passo 1
O enunciado dá um arranjo em ponte com cinco capacitores: quatro capacitores nos braços externos
e um capacitor central
ligado entre os dois nós médios da ponte (os nós que separam
de
e
de
). Foi dada a relação
O que se pede: determinar a carga armazenada no capacitor central
(quando se aplica uma diferença de potencial entre o nó superior e o nó inferior da ponte).
Informações relevantes que vamos usar (tiradas do enunciado e hipóteses naturais para o problema):
Informações relevantes que vamos usar (tiradas do enunciado e hipóteses naturais para o problema):
- Há uma diferença de potencial aplicada entre o nó superior e o nó inferior; vou chamar essa diferença de
(se o enunciado não dá , a resposta ficará em função de ). - Os nós médios serão chamados de
(lado esquerdo) e (lado direito). O capacitor central liga a . - A relação dada é
.
O objetivo imediato é achar a diferença de potencial entree , porque a carga em é
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
- Capacitores em série: quando dois capacitores
e estão em série ligados entre um terminal de potencial e o outro terminal em , a mesma carga aparece em ambos e a capacitância equivalente é
A tensão total
se divide entre eles segundo
e
(lembrando que
).
- No nosso problema cada ramo (esquerdo e direito) é um par de capacitores em série: à esquerda
em cima e em baixo; à direita em cima e em baixo. Os potenciais nos nós médios e (medidos em relação ao nó inferior, que vou tomar como ) são as tensões sobre os capacitores inferiores e , respectivamente.
Agora calculamos
pela regra série no ramo esquerdo. A capacitância equivalente do par
é
A carga no par é
. A tensão no capacitor inferior
(que é exatamente
) é
Substituindo
:
Faça atenção ao raciocínio: a tensão sobre o capacitor inferior de um par em série é proporcional à capacitância do capacitor oposto (aqui
) — parece estranho à primeira vista, mas vem direto de
e do fato de
envolver
.
Analogamente, no ramo direito obtemos
Passo 3
Agora usamos a condição de equilíbrio dada
para comparar
e
. É prático introduzir o número
Então podemos escrever
Portanto
Conclusão importante: os potenciais dos nós médios
e
são iguais quando
.
Passo 4
A carga no capacitor central
é dada pela lei básica do capacitor:
Como acabamos de mostrar
sob a condição dada, segue que
Portanto o capacitor central não armazena carga quando
.
Passo 5
Interpretação física e analogia com distribuição de potenciais em condutores (explicação didática e intuitiva):
- O que aconteceu: cada ramo da ponte gera um divisor de tensão (no caso dos capacitores, a fração da tensão total que aparece no nó médio depende da razão entre as capacitâncias do ramo). A condição
faz com que os dois divisores dêem exatamente a mesma fração da tensão total, isto é, os dois nós médios ficam ao mesmo potencial. Se não há diferença de potencial entre e , não existe campo elétrico entre eles e, consequentemente, nenhum acúmulo de carga no capacitor que os une. - Analogia com condutores e com a ponte de Wheatstone: na ponte resistiva (Wheatstone) existe uma condição de equilíbrio
que anula a corrente pelo resistor central; aqui a condição anula a diferença de potencial entre os nós médios, então o capacitor central não fica carregado. A lógica é a mesma: equilíbrio significa “mesma divisão de potencial” dos dois ramos. Em termos mais gerais, olhar para o circuito por nós e potenciais (em vez de apenas para cargas) é a forma padrão de resolver problemas eletrostáticos em redes — é a mesma ideia de “distribuição de potencial” em condutores: se dois pontos estão ao mesmo potencial, não há motivo para fluxo de carga (ou diferença de carga) entre eles. - Observação prática: o resultado não depende do valor de
(desde que exista o capacitor), pois quando a diferença de potencial a que estaria sujeita é zero, então mesmo se for grande ou pequeno.