Considere o arranjo de capacitores em “ponte de condensadores” (similar à ponte de Wheatstone). Se os capacitores nos braços da ponte satisfazem a relação
C_{1} / C_{2}=C_{3} / C_{4},
determine a carga armazenada no capacitor central \mathrm{C}_{5} conectado entre os nós centrais. Explique a analogia deste problema com a distribuição de potenciais em condutores.

Passo 1

O enunciado dá um arranjo em ponte com cinco capacitores: quatro capacitores nos braços externos \,C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}\, e um capacitor central \,C_{5}\, ligado entre os dois nós médios da ponte (os nós que separam C_{1} de C_{2} e C_{3} de C_{4}). Foi dada a relação
\frac{C_{1}}{C_{2}}=\frac{C_{3}}{C_{4}}.
O que se pede: determinar a carga armazenada no capacitor central \,C_{5}\, (quando se aplica uma diferença de potencial entre o nó superior e o nó inferior da ponte).
Informações relevantes que vamos usar (tiradas do enunciado e hipóteses naturais para o problema):
  • Há uma diferença de potencial aplicada entre o nó superior e o nó inferior; vou chamar essa diferença de \,V (se o enunciado não dá V, a resposta ficará em função de \,V).
  • Os nós médios serão chamados de \,A (lado esquerdo) e \,B (lado direito). O capacitor central \,C_{5} liga A a B.
  • A relação dada é \dfrac{C_{1}}{C_{2}}=\dfrac{C_{3}}{C_{4}}.
    O objetivo imediato é achar a diferença de potencial entre A e B, porque a carga em \,C_{5}\, é
Q_{5}=C_{5}\,\bigl(V_{A}-V_{B}\bigr).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
  • Capacitores em série: quando dois capacitores C_a e C_b estão em série ligados entre um terminal de potencial V e o outro terminal em 0, a mesma carga Q aparece em ambos e a capacitância equivalente é
C_{\text{eq}}=\frac{C_a C_b}{C_a + C_b}.
A tensão total \,V se divide entre eles segundo \,V_a=Q/C_a e \,V_b=Q/C_b (lembrando que V_a+V_b=V).
  • No nosso problema cada ramo (esquerdo e direito) é um par de capacitores em série: à esquerda C_{1} em cima e C_{2} em baixo; à direita C_{3} em cima e C_{4} em baixo. Os potenciais nos nós médios A e B (medidos em relação ao nó inferior, que vou tomar como 0) são as tensões sobre os capacitores inferiores C_{2} e C_{4}, respectivamente.
Agora calculamos V_{A} pela regra série no ramo esquerdo. A capacitância equivalente do par (C_{1},C_{2}) é
C_{12}=\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}.
A carga no par é \,Q_{12}=C_{12}\,V. A tensão no capacitor inferior C_{2} (que é exatamente V_{A}) é
V_{A}=\frac{Q_{12}}{C_{2}}=\frac{C_{12}}{C_{2}}\,V.
Substituindo C_{12}:
V_{A}=\frac{\dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}{C_{2}}\,V=\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}\,V.
Faça atenção ao raciocínio: a tensão sobre o capacitor inferior de um par em série é proporcional à capacitância do capacitor oposto (aqui C_{1}) — parece estranho à primeira vista, mas vem direto de V_{2}=Q/C_{2} e do fato de Q envolver C_{1}.
Analogamente, no ramo direito obtemos
V_{B}=\frac{C_{3}}{C_{3}+C_{4}}\,V.

Passo 3

Agora usamos a condição de equilíbrio dada \dfrac{C_{1}}{C_{2}}=\dfrac{C_{3}}{C_{4}} para comparar V_{A} e V_{B}. É prático introduzir o número
k=\frac{C_{1}}{C_{2}}=\frac{C_{3}}{C_{4}}.
Então podemos escrever
\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}=\frac{\dfrac{C_{1}}{C_{2}}}{\dfrac{C_{1}}{C_{2}}+1}=\frac{k}{k+1}, \qquad \frac{C_{3}}{C_{3}+C_{4}}=\frac{\dfrac{C_{3}}{C_{4}}}{\dfrac{C_{3}}{C_{4}}+1}=\frac{k}{k+1}.
Portanto
V_{A}=\frac{k}{k+1}\,V = V_{B}.
Conclusão importante: os potenciais dos nós médios A e B são iguais quando \dfrac{C_{1}}{C_{2}}=\dfrac{C_{3}}{C_{4}}.

Passo 4

A carga no capacitor central \,C_{5}\, é dada pela lei básica do capacitor:
Q_{5}=C_{5}\,\bigl(V_{A}-V_{B}\bigr).
Como acabamos de mostrar V_{A}=V_{B} sob a condição dada, segue que
Q_{5}=C_{5}\times 0=0.
Portanto o capacitor central não armazena carga quando \dfrac{C_{1}}{C_{2}}=\dfrac{C_{3}}{C_{4}}.

Passo 5

Interpretação física e analogia com distribuição de potenciais em condutores (explicação didática e intuitiva):
  • O que aconteceu: cada ramo da ponte gera um divisor de tensão (no caso dos capacitores, a fração da tensão total que aparece no nó médio depende da razão entre as capacitâncias do ramo). A condição \dfrac{C_{1}}{C_{2}}=\dfrac{C_{3}}{C_{4}} faz com que os dois divisores dêem exatamente a mesma fração da tensão total, isto é, os dois nós médios ficam ao mesmo potencial. Se não há diferença de potencial entre A e B, não existe campo elétrico entre eles e, consequentemente, nenhum acúmulo de carga no capacitor que os une.
  • Analogia com condutores e com a ponte de Wheatstone: na ponte resistiva (Wheatstone) existe uma condição de equilíbrio R_{1}/R_{2}=R_{3}/R_{4} que anula a corrente pelo resistor central; aqui a condição anula a diferença de potencial entre os nós médios, então o capacitor central não fica carregado. A lógica é a mesma: equilíbrio significa “mesma divisão de potencial” dos dois ramos. Em termos mais gerais, olhar para o circuito por nós e potenciais (em vez de apenas para cargas) é a forma padrão de resolver problemas eletrostáticos em redes — é a mesma ideia de “distribuição de potencial” em condutores: se dois pontos estão ao mesmo potencial, não há motivo para fluxo de carga (ou diferença de carga) entre eles.
  • Observação prática: o resultado não depende do valor de C_{5} (desde que exista o capacitor), pois quando \,V_{A}=V_{B}\, a diferença de potencial a que C_{5} estaria sujeita é zero, então Q_{5}=0 mesmo se C_{5} for grande ou pequeno.

Resposta

Q_{5}=0

Exercícios relacionados