Duas cascas condutoras esféricas concêntricas possuem raios "
" e "
" (
). A casca interna tem carga
e a externa tem carga -Q. Se a casca externa for aterrada momentaneamente e depois o aterramento for removido, o que ocorre com o potencial
na região
?
A) O potencial torna-se nulo, pois a carga da casca externa será neutralizada pela terra.
B) O potencial permanece o mesmo, pois o aterramento não afeta a carga líquida total.
C) O potencial torna-se positivo, pois elétrons saem da casca externa para a terra.
D) O potencial torna-se nulo, porque a carga na superfície externa da casca de raio
passa a ser zero para manter o potencial de terra.
A) O potencial torna-se nulo, pois a carga da casca externa será neutralizada pela terra.
B) O potencial permanece o mesmo, pois o aterramento não afeta a carga líquida total.
C) O potencial torna-se positivo, pois elétrons saem da casca externa para a terra.
D) O potencial torna-se nulo, porque a carga na superfície externa da casca de raio
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou pegar exatamente os símbolos usados):
- Duas cascas condutoras esféricas concêntricas com raios
e , com . - A casca interna (raio
) tem carga . - A casca externa (raio
) tem carga total . - A casca externa é aterrada momentaneamente e depois o aterramento é removido.
O que o problema pede:
- Determinar o que ocorre com o potencial
na região (isto é, fora da casca externa) depois desse procedimento.
Passo 2
Princípio físico básico que vamos usar (explicado devagarinho):
- Em um condutor em equilíbrio eletrostático o campo elétrico dentro do material do condutor é
. Isso implica que, na superfície interna de uma casca condutora que envolve uma carga, aparece uma carga induzida tal que o campo dentro do metal se anule. - Regra importante para cavidades: se dentro de uma cavidade condutora há uma carga
, a superfície interna da casca condutora terá carga induzida . Essa é uma consequência direta de exigir no metal e usar a Lei de Gauss. - A Lei de Gauss (na forma integral) é
onde
é a carga total envolvida pela superfície fechada. Isso nos diz como o campo fora das cascas depende da carga total efetiva contida dentro de uma esfera de raio maior.
Passo 3
Aplicando esses conceitos ao nosso caso:
- A casca interna tem
. Portanto a superfície interna da casca externa (a face voltada para o vazio entre e ) deve carregar para cancelar o campo no metal da casca externa. Isso decorre diretamente do argumento do passo anterior. - A casca externa tem carga total
(dados do enunciado). Logo a carga na superfície externa (a face voltada para ) vale
ou seja
Portanto, antes de qualquer aterramento, a casca externa já possui carga
no lado interno e carga
na sua superfície externa.
Passo 4
Campo e potencial na região
antes do aterramento:
- Para uma superfície esférica de raio
que envolve todas as cargas, a carga total envolvida é a soma: -
(carga da casca interna), -
(carga na superfície interna da casca externa), -
(carga na superfície externa da casca externa).
-
- Soma:
. - Pela Lei de Gauss, isso implica
em toda a região . Assim o potencial é constante em . Se adotarmos o referencial usual , então
Passo 5
Efeitos do aterramento momentâneo da casca externa:
- Aterrando a casca externa a conectamos a um reservatório (terra) que tem potencial
. Isso permite troca de cargas entre a casca e a Terra até que a casca fique no potencial do solo. - Mas observe: a distribuição necessária para anular o campo no metal da casca externa exige que a superfície interna carregue
enquanto houver a carga dentro de . Essa carga na superfície interna não desaparece simplesmente por aterrar; ela é exigida para manter dentro do metal. - A superfície externa da casca já tinha carga
antes do aterramento (ver Passo 3). Portanto não há necessidade de fluxo de carga entre a casca externa e a Terra: a casca externa já está no mesmo potencial que o infinito (e que a Terra) e sua superfície externa tem carga . - Consequentemente, aterrar momentaneamente e depois remover a ligação à Terra não altera nem a carga na superfície externa (permanece
) nem a carga na superfície interna (permanece ). A distribuição final permanece a mesma que a inicial.
Passo 6
Conclusão física para
em
após o procedimento:
- Como a carga total efetiva dentro de uma superfície de raio
continua sendo , o campo nessa região continua nulo e o potencial continua constante com o mesmo valor de antes. - Adotando
, obtemos . - Comentário rápido sobre as alternativas: a alternativa A está errada na justificativa (a casca externa não é “neutralizada” pela Terra de modo a mudar a carga efetiva externa; a superfície externa já era neutra). A alternativa D dá uma justificativa parecida com A mas não captura que nada mudou: a superfície externa já era
. A alternativa C está incorreta porque não ocorre saída de elétrons que tornaria o potencial positivo. A alternativa B é a que descreve corretamente que o potencial permanece o mesmo (neste caso zero), porque o aterramento não altera a carga líquida efetiva que determina o campo em .
Resposta
B