Duas cascas condutoras esféricas concêntricas possuem raios " a " e " b " ( b>a ). A casca interna tem carga +Q e a externa tem carga -Q. Se a casca externa for aterrada momentaneamente e depois o aterramento for removido, o que ocorre com o potencial V na região r>b ?
A) O potencial torna-se nulo, pois a carga da casca externa será neutralizada pela terra.
B) O potencial permanece o mesmo, pois o aterramento não afeta a carga líquida total.
C) O potencial torna-se positivo, pois elétrons saem da casca externa para a terra.
D) O potencial torna-se nulo, porque a carga na superfície externa da casca de raio \mathrm{b} \mid passa a ser zero para manter o potencial de terra.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou pegar exatamente os símbolos usados):
  • Duas cascas condutoras esféricas concêntricas com raios a e b, com b>a.
  • A casca interna (raio a) tem carga +Q.
  • A casca externa (raio b) tem carga total -Q.
  • A casca externa é aterrada momentaneamente e depois o aterramento é removido.
O que o problema pede:
  • Determinar o que ocorre com o potencial V na região r>b (isto é, fora da casca externa) depois desse procedimento.

Passo 2

Princípio físico básico que vamos usar (explicado devagarinho):
  • Em um condutor em equilíbrio eletrostático o campo elétrico dentro do material do condutor é 0. Isso implica que, na superfície interna de uma casca condutora que envolve uma carga, aparece uma carga induzida tal que o campo dentro do metal se anule.
  • Regra importante para cavidades: se dentro de uma cavidade condutora há uma carga +Q, a superfície interna da casca condutora terá carga induzida -Q. Essa é uma consequência direta de exigir E=0 no metal e usar a Lei de Gauss.
  • A Lei de Gauss (na forma integral) é
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total envolvida pela superfície fechada. Isso nos diz como o campo fora das cascas depende da carga total efetiva contida dentro de uma esfera de raio maior.

Passo 3

Aplicando esses conceitos ao nosso caso:
  • A casca interna tem +Q. Portanto a superfície interna da casca externa (a face voltada para o vazio entre a e b) deve carregar -Q para cancelar o campo no metal da casca externa. Isso decorre diretamente do argumento do passo anterior.
  • A casca externa tem carga total -Q (dados do enunciado). Logo a carga na superfície externa (a face voltada para r>b) vale
q_{\text{superf\;externa}}=\text{(carga total da casca externa)} - \text{(carga na superfície interna)}í
ou seja
q_{\text{superf\;externa}} = -Q - (-Q) = 0.
Portanto, antes de qualquer aterramento, a casca externa já possui carga -Q no lado interno e carga 0 na sua superfície externa.

Passo 4

Campo e potencial na região r>b antes do aterramento:
  • Para uma superfície esférica de raio r>b que envolve todas as cargas, a carga total envolvida é a soma:
    • +Q (carga da casca interna),
    • -Q (carga na superfície interna da casca externa),
    • 0 (carga na superfície externa da casca externa).
  • Soma: Q_{\text{enc}}=+Q + (-Q) + 0 = 0.
  • Pela Lei de Gauss, isso implica \mathbf{E}=0 em toda a região r>b. Assim o potencial V é constante em r>b. Se adotarmos o referencial usual V(\infty)=0, então
V(r>b)=0.

Passo 5

Efeitos do aterramento momentâneo da casca externa:
  • Aterrando a casca externa a conectamos a um reservatório (terra) que tem potencial 0. Isso permite troca de cargas entre a casca e a Terra até que a casca fique no potencial do solo.
  • Mas observe: a distribuição necessária para anular o campo no metal da casca externa exige que a superfície interna carregue -Q enquanto houver a carga +Q dentro de a. Essa carga na superfície interna não desaparece simplesmente por aterrar; ela é exigida para manter E=0 dentro do metal.
  • A superfície externa da casca já tinha carga 0 antes do aterramento (ver Passo 3). Portanto não há necessidade de fluxo de carga entre a casca externa e a Terra: a casca externa já está no mesmo potencial que o infinito (e que a Terra) e sua superfície externa tem carga 0.
  • Consequentemente, aterrar momentaneamente e depois remover a ligação à Terra não altera nem a carga na superfície externa (permanece 0) nem a carga na superfície interna (permanece -Q). A distribuição final permanece a mesma que a inicial.

Passo 6

Conclusão física para V em r>b após o procedimento:
  • Como a carga total efetiva dentro de uma superfície de raio r>b continua sendo 0, o campo nessa região continua nulo e o potencial continua constante com o mesmo valor de antes.
  • Adotando V(\infty)=0, obtemos V(r>b)=0.
  • Comentário rápido sobre as alternativas: a alternativa A está errada na justificativa (a casca externa não é “neutralizada” pela Terra de modo a mudar a carga efetiva externa; a superfície externa já era neutra). A alternativa D dá uma justificativa parecida com A mas não captura que nada mudou: a superfície externa já era 0. A alternativa C está incorreta porque não ocorre saída de elétrons que tornaria o potencial positivo. A alternativa B é a que descreve corretamente que o potencial permanece o mesmo (neste caso zero), porque o aterramento não altera a carga líquida efetiva que determina o campo em r>b.

Resposta

B

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