Questão 8: Trabalho e Movimento de Cargas

Uma carga pontual “q” é deslocada do infinito até o centro de um quadrado de lado “L”, que possui cargas +\mathrm{Q},-\mathrm{Q},+\mathrm{Q}, -Q em seus vértices (em ordem cíclica).
  • Determine o trabalho realizado pelo campo elétrico nesse processo.
  • Analise a estabilidade do equilíbrio da carga “q” no centro do quadrado se ela for levemente deslocada ao longo de um dos eixos de simetria.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um quadrado de lado L com quatro cargas puntuais nos vértices, em ordem cíclica: +Q,-Q,+Q,-Q.
  • Uma carga de prova q é trazida do infinito até o centro do quadrado.
    As perguntas:
  1. Determinar o trabalho realizado pelo campo elétrico quando a carga q é levada do infinito até o centro.
  2. Analisar a estabilidade do equilíbrio da carga q no centro quando ela é levemente deslocada ao longo de um eixo de simetria.
Informações geométricas úteis (pegas do enunciado):
  • O centro do quadrado está equidistante de todos os vértices; a distância do centro a cada vértice é a meia-diagonal do quadrado:
a=\text{meia-diagonal}=\frac{L}{\sqrt{2}}.
  • Potencial no infinito pode ser tomado como V(\infty)=0.

Passo 2

Lembrando conceitos essenciais (aula rápida e prática):
  • O potencial elétrico V(\mathbf{r}) devido a um conjunto de cargas pontuais é a soma das contribuições escalares de cada carga:
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i \frac{q_i}{r_i},
onde q_i são as cargas que geram o campo e r_i são as distâncias do ponto \mathbf{r} até cada carga q_i.
  • A energia potencial de uma carga de prova q colocada num ponto é
U(\mathbf{r})=q\,V(\mathbf{r}).
  • O trabalho realizado pelo campo elétrico ao mover a carga de um ponto A a B é igual a menos a variação da energia potencial:
W_{\text{campo}}= -\Delta U = U(A)-U(B) = q\bigl(V(A)-V(B)\bigr).
No nosso caso A=\infty (onde V(\infty)=0) e B= centro do quadrado. Portanto
W_{\text{campo}}=q\bigl(0 - V_{\text{centro}}\bigr) = -q\,V_{\text{centro}}.
Então precisamos calcular V_{\text{centro}}.

Passo 3

Calcular o potencial no centro devido às quatro cargas.
  • Cada vértice está à mesma distância a=\dfrac{L}{\sqrt{2}} do centro (peguei isso da geometria do quadrado).
  • A contribuição de uma carga q_i ao potencial no centro é \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_i}{a}.
    Somando as quatro contribuições (respeitando os sinais +Q,-Q,+Q,-Q):
V_{\text{centro}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{+Q}{a}+\frac{-Q}{a}+\frac{+Q}{a}+\frac{-Q}{a}\right).
Agrupando:
V_{\text{centro}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q-Q+Q-Q}{a}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{0}{a}=0.

Passo 4

Concluir o trabalho usando o resultado do passo anterior.
  • Como V_{\text{centro}}=0 e V(\infty)=0, temos
W_{\text{campo}}=-q\,V_{\text{centro}}=-q\cdot 0=0.
Interpretação didática: o trabalho total realizado pelo campo ao trazer q do infinito até o centro é nulo. Mesmo havendo forças locais durante o trajeto, a energia potencial final é igual à inicial ( 0), logo o campo não faz trabalho líquido nessa transformação.

Passo 5

Verificar se o centro é um ponto de equilíbrio (condição linear).
  • Equilíbrio estático ocorre quando a força elétrica sobre q no centro é zero, isto é, o campo elétrico total no centro é nulo.
  • Por simetria das cargas alternadas nos quatro vértices, as contribuições vetoriais do campo no centro se cancelam: para cada carga existe outra que produz campo igual em módulo e oposto em direção. Portanto o campo no centro é \mathbf{E}(0)=\mathbf{0} e a força \mathbf{F}=q\mathbf{E}(0)=\mathbf{0}. Assim o centro é um ponto de equilíbrio (força nula).

Passo 6

Estabilidade para deslocamento ao longo do eixo que passa pelos pontos médios dos lados (eixo “horizontal/vertical” do quadrado).
  • Seja o eixo x que passa pelos centros de lados opostos (isto é, eixo que é simetria do quadrado). Considere uma posição qualquer sobre esse eixo, (x,0).
  • Calcule a componente E_x do campo na posição (x,0) somando contribuições dos quatro vértices. Para cada par de vértices que têm o mesmo x (por exemplo em x=+a os vértices (a,a) e (a,-a)) as cargas são de sinais opostos e estão à mesma distância da posição (x,0); as componentes x produzidas por essas duas cargas têm mesma magnitude e sinais opostos, portanto se anulam. O mesmo acontece com o par no x=-a.
  • Conclusão calculada: para qualquer deslocamento sobre esse eixo, as contribuições se cancelam exatamente, logo \mathbf{E}(x,0)=\mathbf{0} para todo x sobre esse eixo. Portanto a força sobre q permanece nula ao longo desse eixo.
  • Interpretação física e didática: ao deslocar levemente q ao longo do eixo que liga os centros dos lados, não aparece força restauradora nem força desestabilizadora — a energia potencial ao longo desse eixo é constante. Isso caracteriza equilíbrio neutro (indiferente) nessa direção: a carga permanece sem aceleração, não há tendência de voltar nem de escapar.

Passo 7

Estabilidade para deslocamento ao longo de um eixo de simetria diagonal (eixo que liga vértices opostos).
  • Agora considere uma pequena deslocamento ao longo da diagonal, ou seja posição (t,t) com |t|\ll a e a=\dfrac{L}{2} (aqui uso a como coordenada do vértice em relação ao centro: vértices em (\pm a,\pm a), então a=L/2).
  • Escrever o potencial no ponto (t,t) somando as quatro contribuições (lembre que duas cargas são +Q em (a,a) e (-a,-a) e duas são -Q em (-a,a) e (a,-a)):
V(t,t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q}{\sqrt{2}(a-t)}+\frac{Q}{\sqrt{2}(a+t)}-\frac{2Q}{\sqrt{2\,(a^2+t^2)}}\right).
(Detalhe: as distâncias foram substituídas explicitamente; verificação geométrica: distância de (t,t) a (a,a) é \sqrt{2}(a-t) etc.)
  • Expandir para pequeno parâmetro \varepsilon=\dfrac{t}{a} usando séries de Taylor (a ideia: desenvolver cada termo até ordem \varepsilon^2, porque as simetrias anulam termos lineares):
    • \dfrac{1}{a\pm t}=\dfrac{1}{a}\dfrac{1}{1\pm\varepsilon}=\dfrac{1}{a}\bigl(1\mp\varepsilon+\varepsilon^2+\mathcal{O}(\varepsilon^3)\bigr).
    • \dfrac{1}{\sqrt{a^2+t^2}}=\dfrac{1}{a}\dfrac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2}}=\dfrac{1}{a}\bigl(1-\tfrac{\varepsilon^2}{2}+\mathcal{O}(\varepsilon^4)\bigr).
  • Somando as contribuições e simplificando (os termos lineares em \varepsilon cancelam), obtém-se a ordem principal não nula em \varepsilon^2:
V(t,t)\approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{3Q}{\sqrt{2}}\cdot\frac{t^2}{a^3}.
  • Substituindo a=L/2 (portanto a^3=L^3/8):
V(t,t)\approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{12\sqrt{2}\,Q}{L^3}\;t^2.
  • A energia potencial da carga q é
U(t)=q\,V(t,t)\approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{12\sqrt{2}\,qQ}{L^3}\;t^2.
  • Interpretação: para pequenos deslocamentos ao longo da diagonal, a variação leading-order da energia potencial é quadrática em t. O coeficiente efetivo é proporcional a qQ.
    • Se qQ>0 (mesmo sinal), então U(t) aumenta com t^2: o ponto t=0 é um mínimo local ao longo da diagonal → existe uma força restauradora nessa direção → estabilidade (restauradora) nessa direção.
    • Se qQ<0 (sinais opostos), então U(t) diminui com t^2: o ponto t=0 é um máximo local ao longo da diagonal → há instabilidade (tendência a afastar-se) nessa direção.

Resposta

O trabalho realizado pelo campo elétrico ao trazer q do infinito até o centro é 0.
Se a carga for deslocada ao longo do eixo que passa pelos centros dos lados (eixo paralelo aos lados): o campo permanece nulo sobre esse eixo e a energia potencial é constante ao longo dele, logo o equilíbrio é neutro (indiferente) nessa direção.
Se a carga for deslocada ao longo de uma diagonal do quadrado: para pequenos deslocamentos t a energia varia como
U(t)\approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{12\sqrt{2}\,qQ}{L^3}\;t^2,
portanto é estável (restaurador) ao longo da diagonal se qQ>0 e instável se qQ<0.

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