Questão 8: Trabalho e Movimento de Cargas
Uma carga pontual “q” é deslocada do infinito até o centro de um quadrado de lado “L”, que possui cargas
, -Q em seus vértices (em ordem cíclica).
- Determine o trabalho realizado pelo campo elétrico nesse processo.
- Analise a estabilidade do equilíbrio da carga “q” no centro do quadrado se ela for levemente deslocada ao longo de um dos eixos de simetria.
Passo 1
O enunciado dá:
- Um quadrado de lado
com quatro cargas puntuais nos vértices, em ordem cíclica: . - Uma carga de prova
é trazida do infinito até o centro do quadrado.
As perguntas:
- Determinar o trabalho realizado pelo campo elétrico quando a carga
é levada do infinito até o centro. - Analisar a estabilidade do equilíbrio da carga
no centro quando ela é levemente deslocada ao longo de um eixo de simetria.
Informações geométricas úteis (pegas do enunciado):
- O centro do quadrado está equidistante de todos os vértices; a distância do centro a cada vértice é a meia-diagonal do quadrado:
- Potencial no infinito pode ser tomado como
.
Passo 2
Lembrando conceitos essenciais (aula rápida e prática):
- O potencial elétrico
devido a um conjunto de cargas pontuais é a soma das contribuições escalares de cada carga:
onde
são as cargas que geram o campo e
são as distâncias do ponto
até cada carga
.
- A energia potencial de uma carga de prova
colocada num ponto é
- O trabalho realizado pelo campo elétrico ao mover a carga de um ponto
a é igual a menos a variação da energia potencial:
No nosso caso
(onde
) e
centro do quadrado. Portanto
Então precisamos calcular
.
Passo 3
Calcular o potencial no centro devido às quatro cargas.
- Cada vértice está à mesma distância
do centro (peguei isso da geometria do quadrado). - A contribuição de uma carga
ao potencial no centro é .
Somando as quatro contribuições (respeitando os sinais):
Agrupando:
Passo 4
Concluir o trabalho usando o resultado do passo anterior.
- Como
e , temos
Interpretação didática: o trabalho total realizado pelo campo ao trazer
do infinito até o centro é nulo. Mesmo havendo forças locais durante o trajeto, a energia potencial final é igual à inicial (
), logo o campo não faz trabalho líquido nessa transformação.
Passo 5
Verificar se o centro é um ponto de equilíbrio (condição linear).
- Equilíbrio estático ocorre quando a força elétrica sobre
no centro é zero, isto é, o campo elétrico total no centro é nulo. - Por simetria das cargas alternadas nos quatro vértices, as contribuições vetoriais do campo no centro se cancelam: para cada carga existe outra que produz campo igual em módulo e oposto em direção. Portanto o campo no centro é
e a força . Assim o centro é um ponto de equilíbrio (força nula).
Passo 6
Estabilidade para deslocamento ao longo do eixo que passa pelos pontos médios dos lados (eixo “horizontal/vertical” do quadrado).
- Seja o eixo
que passa pelos centros de lados opostos (isto é, eixo que é simetria do quadrado). Considere uma posição qualquer sobre esse eixo, . - Calcule a componente
do campo na posição somando contribuições dos quatro vértices. Para cada par de vértices que têm o mesmo (por exemplo em os vértices e ) as cargas são de sinais opostos e estão à mesma distância da posição ; as componentes produzidas por essas duas cargas têm mesma magnitude e sinais opostos, portanto se anulam. O mesmo acontece com o par no . - Conclusão calculada: para qualquer deslocamento sobre esse eixo, as contribuições se cancelam exatamente, logo
para todo sobre esse eixo. Portanto a força sobre permanece nula ao longo desse eixo. - Interpretação física e didática: ao deslocar levemente
ao longo do eixo que liga os centros dos lados, não aparece força restauradora nem força desestabilizadora — a energia potencial ao longo desse eixo é constante. Isso caracteriza equilíbrio neutro (indiferente) nessa direção: a carga permanece sem aceleração, não há tendência de voltar nem de escapar.
Passo 7
Estabilidade para deslocamento ao longo de um eixo de simetria diagonal (eixo que liga vértices opostos).
- Agora considere uma pequena deslocamento ao longo da diagonal, ou seja posição
com e (aqui uso como coordenada do vértice em relação ao centro: vértices em , então ). - Escrever o potencial no ponto
somando as quatro contribuições (lembre que duas cargas são em e e duas são em e ):
(Detalhe: as distâncias foram substituídas explicitamente; verificação geométrica: distância de
a
é
etc.)
- Expandir para pequeno parâmetro
usando séries de Taylor (a ideia: desenvolver cada termo até ordem , porque as simetrias anulam termos lineares): -
. -
.
-
- Somando as contribuições e simplificando (os termos lineares em
cancelam), obtém-se a ordem principal não nula em :
- Substituindo
(portanto ):
- A energia potencial da carga
é
- Interpretação: para pequenos deslocamentos ao longo da diagonal, a variação leading-order da energia potencial é quadrática em
. O coeficiente efetivo é proporcional a . - Se
(mesmo sinal), então aumenta com : o ponto é um mínimo local ao longo da diagonal → existe uma força restauradora nessa direção → estabilidade (restauradora) nessa direção. - Se
(sinais opostos), então diminui com : o ponto é um máximo local ao longo da diagonal → há instabilidade (tendência a afastar-se) nessa direção.
- Se
Resposta
O trabalho realizado pelo campo elétrico ao trazer
do infinito até o centro é
.
Se a carga for deslocada ao longo do eixo que passa pelos centros dos lados (eixo paralelo aos lados): o campo permanece nulo sobre esse eixo e a energia potencial é constante ao longo dele, logo o equilíbrio é neutro (indiferente) nessa direção.
Se a carga for deslocada ao longo de uma diagonal do quadrado: para pequenos deslocamentos
a energia varia como
portanto é estável (restaurador) ao longo da diagonal se
e instável se
.