Considere um dipolo elétrico posicionado sobre o eixo " \mathbf{x} ". Um estudante calcula o potencial elétrico em um ponto muito distante sobre o eixo de simetria (mediatriz) do dipolo.
O valor encontrado é:
A) Inversamente proporcional à distância r.
B) Inversamente proporcional ao quadrado da distância r^{2}.
C) Nulo em todos os pontos dessa linha.
D) Proporcional ao logaritmo da distância.

Passo 1

O enunciado dá um dipolo elétrico posicionado sobre o eixo \mathbf{x} e pede o potencial elétrico em um ponto muito distante sobre a mediatriz (eixo de simetria perpendicular ao dipolo). As alternativas são:
A) Inversamente proporcional à distância r.
B) Inversamente proporcional ao quadrado da distância r^{2}.
C) Nulo em todos os pontos dessa linha.
D) Proporcional ao logaritmo da distância.
Informações relevantes do enunciado:
  • Há um dipolo formado por duas cargas +q e -q separadas simetricamente ao longo do eixo x.
  • O ponto onde se quer o potencial está sobre a mediatriz (eixo perpendicular que passa pelo ponto médio do dipolo), e está muito distante (mas a distância pode ser tratada de forma geral).
  • Precisa-se identificar o comportamento do potencial nessa linha (se decai como 1/r, 1/r^2, é nulo, etc.).

Passo 2

Lembrete essencial (fórmula e ideia que vou usar): potencial elétrico produzido por uma carga pontual q em um ponto a distância R é
V(R)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{q}{R},
onde \epsilon_0 é a permissividade do vácuo. A superposição vale para potencial: o potencial total gerado por várias cargas é a soma algébrica dos potenciais de cada carga, porque potencial é uma grandeza escalar.
Explicando as coisas com calma:
  • V(R) é um número (escalar) medindo energia por carga de prova.
  • 1/(4\pi\epsilon_0) é a constante de Coulomb (vou chamar de k para simplificar).
  • Superposição: se há duas cargas q_1 e q_2 em distâncias R_1 e R_2 do ponto, então o potencial é V=k\big(q_1/R_1 + q_2/R_2\big).

Passo 3

Definir a geometria concreta para facilitar contas (esquema padrão):
  • Coloca-se o centro do dipolo na origem. As cargas ficam em x=+a e x=-a. Assim a separação total é d=2a. A carga em x=+a é +q e em x=-a é -q.
  • Considere um ponto P sobre a mediatriz, por exemplo no eixo y, com coordenadas (0,y). A distância do ponto ao centro é r=|y|. (O enunciado diz “muito distante”, ou seja r\gg a, mas primeiro podemos tratar r arbitrário.)
Agora calcule as distâncias do ponto P a cada carga:
  • Distância a +q (em x=+a): \;R_+=\sqrt{(0-a)^2 + y^2}=\sqrt{a^2+y^2}.
  • Distância a -q (em x=-a): \;R_-=\sqrt{(0-(-a))^2 + y^2}=\sqrt{a^2+y^2}.
Observe claramente que, por simetria da mediatriz, \;R_+=R_-=\sqrt{a^2+y^2}.

Passo 4

Use a superposição para somar os potenciais das duas cargas no ponto P. Chamando k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}:
V(P)=k\left(\frac{+q}{R_+}+\frac{-q}{R_-}\right).
Substituindo R_+=R_-=\sqrt{a^2+y^2} obtemos
V(P)=k\left(\frac{q}{\sqrt{a^2+y^2}}-\frac{q}{\sqrt{a^2+y^2}}\right)=k\cdot 0 = 0.
Portanto o potencial no ponto P da mediatriz é exatamente nulo, para qualquer valor de y (desde que não coincidamos com as cargas). Isso vale independentemente de r ser grande ou pequeno: a igualdade das distâncias faz os termos se cancelarem exatamente.

Passo 5

Para reforçar a intuição física: no caso de campo distante (aproximação dipolar), o potencial de um dipolo \mathbf{p} é dado por
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}},
onde \mathbf{p}=q\,\mathbf{d} (vetor dipolo) e \hat{\mathbf{r}} é o vetor unitário na direção do ponto observado. No nosso caso \mathbf{p} está ao longo do eixo x enquanto \hat{\mathbf{r}} para pontos da mediatriz é perpendicular a \mathbf{p}, logo \mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}=0 e essa expressão também dá V=0. Assim a fórmula de ordem grandeza confirma o resultado exato de cancelamento.

Passo 6

Resumo prático e incentivo: como potencial é escalar e a mediatriz coloca o ponto à mesma distância das cargas +q e -q, os potenciais parciais têm mesmo módulo e sinais opostos, cancelando-se perfeitamente. No exame, se ver esse tipo de configuração, vale sempre lembrar: na mediatriz do dipolo o potencial é zero — isso economiza muito tempo e evita cálculos longos. Vai dar tudo certo, respira e confia no raciocínio simétrico que você acabou de ver.

Resposta

C

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