Considere uma asa em delta com corda c e semiângulo do vértice igual a \Lambda. Desenvolva relações para C_{L} e C_{D} em função de \alpha e dê valores para C_{L} e C_{D} quando \Lambda=15^{\circ} e \alpha=2^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá uma asa em delta (plano triangular) com corda c e semiângulo do vértice \Lambda. Pede:
  • desenvolver relações para C_{L} e C_{D} em função do ângulo de ataque \alpha;
  • calcular valores numéricos de C_{L} e C_{D} para \Lambda=15^\circ e \alpha=2^\circ.
Informações relevantes que temos e que vou usar (tudo extraído do enunciado):
  • semiângulo do vértice: \Lambda=15^\circ;
  • ângulo de ataque: \alpha=2^\circ;
  • corda da asa: c (mantida simbólica para relacionamentos geométricos);
  • a asa é triangular (delta) e vamos tratar o caso idealizado de asa delgada, sem atrito viscoso (ou seja, desprezamos C_{D0} de perfil quando não especificado).

Passo 2

Escolha do método e fórmula para C_L (explicação didática).
  • Para asas delta delgadas, a teoria simplificada (teoria slender / lifting-surface em primeira ordem) dá uma dependência linear de C_L com \alpha para pequenos ângulos, e o coeficiente angular depende do semiângulo \Lambda.
  • Uma forma clássica e simples (muito usada em questões de prova) é a expressão
C_L = a_\alpha\,\alpha,
onde a_\alpha é a inclinação de curva de sustentação (slope) em radianos. Para um delta delgado é usual tomar
a_\alpha = 4\sin\Lambda.
Vou explicar o que isso significa: \sin\Lambda capta a dependência geométrica do levantamento gerado pelos vórtices das arestas; o fator 4 aparece na solução assintótica para um delta triangular plano idealizado. Assim, em notação completa:
\boxed{C_L = 4\sin\Lambda\;\alpha.}
  • Notas pedagógicas: aqui \alpha deve estar em radianos. A expressão é válida para \alpha pequeno e para a asa sem separar o escoamento (regime linear). Esta é uma fórmula de teoria simplificada, adequada para estimativas em prova.

Passo 3

Geometria da asa e razão de aspecto AR (necessária para o arrasto induzido).
  • Para a asa delta triangular que consideramos, tomar como c a distância do vértice até a base (corda longitudinal) e semiângulo do vértice \Lambda implica que a semi-envergadura (meio-asa) é
b_{\tfrac{1}{2}} = c\tan\Lambda.
  • A envergadura total é b = 2c\tan\Lambda.
  • A área planform do triângulo (asa inteira) é
S = \tfrac{1}{2}\times(\text{base})\times(\text{altura}) = \tfrac{1}{2}\times(2c\tan\Lambda)\times c = c^{2}\tan\Lambda.
  • A razão de aspecto AR definida por AR = \dfrac{b^{2}}{S} fica então
AR = \frac{(2c\tan\Lambda)^{2}}{c^{2}\tan\Lambda} = \frac{4c^{2}\tan^{2}\Lambda}{c^{2}\tan\Lambda}=4\tan\Lambda.
Portanto
\boxed{AR = 4\tan\Lambda.}

Passo 4

Fórmula para C_D (explicação didática).
  • Em regime de ângulos pequenos, o arrasto total costuma ser aproximado por arrasto de perfil (paralelo ao zero de sustentação) mais arrasto induzido. Se desprezarmos o arrasto de perfil (caso idealizado), o termo dominante é o arrasto induzido, dado pela fórmula de lifting-line generalizada:
C_{D_i} = \frac{C_L^{2}}{\pi\,AR\,e},
onde:
  • C_{D_i} é o coeficiente de arrasto induzido;
  • C_L é o coeficiente de sustentação total (da Passo 2);
  • AR é a razão de aspecto (da Passo 3);
  • e é o fator de eficiência induzida (empírico, 0<e\le1; e=1 para distribuição ideal elíptica).
  • Em muitas estimativas teóricas de prova assume-se e=1 (caso ideal) e que C_{D0} é pequeno e desprezível. Assim, a relação usada será:
\boxed{C_D \approx C_{D_i} = \dfrac{C_L^{2}}{\pi\,AR}.}
  • Observação: se for necessário incluir atrito, some um C_{D0} experimental: C_D=C_{D0}+C_{L}^{2}/(\pi AR e).

Passo 5

Resumindo as relações finais dependentes de \alpha e \Lambda.
  • Relação para C_L:
\boxed{C_L(\alpha,\Lambda)=4\sin\Lambda\;\alpha,}
com \alpha em radianos.
  • Relação para C_D (assumindo e=1 e desprezando C_{D0}):
\boxed{C_D(\alpha,\Lambda)=\dfrac{[\,4\sin\Lambda\;\alpha\,]^{2}}{\pi\,(4\tan\Lambda)} = \dfrac{16\sin^{2}\Lambda}{4\pi\tan\Lambda}\,\alpha^{2} = \dfrac{4\sin^{2}\Lambda}{\pi\tan\Lambda}\,\alpha^{2}.}
  • Podemos simplificar usando \tan\Lambda=\dfrac{\sin\Lambda}{\cos\Lambda}, obtendo também
C_D(\alpha,\Lambda)=\dfrac{4\sin\Lambda\cos\Lambda}{\pi}\,\alpha^{2}=\dfrac{2\sin(2\Lambda)}{\pi}\,\alpha^{2}.
Ambas as formas são equivalentes; a última é útil para cálculos numéricos.

Passo 6

Conversões e valores numéricos iniciais.
  • Converter \alpha=2^\circ para radianos:
\alpha = 2^\circ = \frac{2\pi}{180} \\ \text{rad} \approx 0,0349066\\ \text{rad}.
  • Calcular \sin\Lambda, \tan\Lambda e \sin(2\Lambda) para \Lambda=15^\circ:
\sin15^\circ \approx 0,258819,\qquad \tan15^\circ \approx 0,267949,\qquad \sin(30^\circ)=0,5.

Passo 7

Cálculo numérico de C_L.
  • Usando C_L=4\sin\Lambda\,\alpha,
C_L = 4\cdot 0,258819\cdot 0,0349066 \approx 0,03614.

Passo 8

Cálculo numérico de C_D (assumindo e=1 e desprezando C_{D0}).
  • Usando a forma com \sin(2\Lambda):
C_D = \dfrac{2\sin(2\Lambda)}{\pi}\,\alpha^{2} = \dfrac{2\cdot 0,5}{\pi}\cdot(0,0349066)^{2}.
  • Calcule passo a passo:
    • \dfrac{2\cdot 0,5}{\pi}=\dfrac{1}{\pi}\approx 0,31831.
    • \alpha^{2}=(0,0349066)^{2}\approx 0,0012185.
    • Multiplicando: C_D \approx 0,31831\cdot 0,0012185 \approx 0,000388.

Passo 9

Interpretação rápida e lembretes para prova.
  • Resultado final para \Lambda=15^\circ, \alpha=2^\circ no modelo idealizado:
    • C_L muito pequeno (ordem de 10^{-2}) porque o ângulo é pequeno e a asa é de baixa razão de aspecto.
    • C_D muito pequeno (ordem de 10^{-4}) quando só se considera o arrasto induzido ideal.
  • Observação prática: na vida real o arrasto total será maior por causa de C_{D0} (arrasto de forma/viscoso) e por perda de eficiência ( e<1). Em prova, se nada mais for dado, costuma-se adotar e=1 e desprezar C_{D0}.

Resposta

C_{L}=0,03614
C_{D}=3,88\times 10^{-4}

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