Ar escoa a 50 \mathrm{ft} / \mathrm{s} por um tubo liso de 1,0 in de diâmetro, composto de naftalina. O ar está a 90^{\circ} \mathrm{F} e a uma pressão média de 1 atm. Assumindo que a queda de pressão ao longo do tubo é desprezível e que a temperatura do tubo é 50^{\circ} \mathrm{F}, determinar:
c) O comprimento do tubo necessário para produzir uma concentração de saída de naftalina de 3,7 \times 10^{-8} \mathrm{lbmol} / \mathrm{ft}^{3}.
d) A vazão de naftalina sublimada para um comprimento de tubo de 6 ft , nas mesmas condições acima.
Dados: \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=0,20 \mathrm{ft}^{2} / \mathrm{h} ; \mathrm{P}_{\mathrm{A}, \mathrm{S}}=0,0209 \mathrm{~mm} \mathrm{Hg}.

Passo 1

Entender o que o problema pede e listar os dados fornecidos.
  • O que o enunciado pede:
    • (c) Determinar o comprimento do tubo necessário para que a concentração de saída de naftalina seja 3{,}7\times10^{-8}\\ \mathrm{lbmol/ft^{3}}.
    • (d) Determinar a vazão de naftalina sublimada (taxa de fluxo de naftalina) para um tubo de comprimento 6\\ \mathrm{ft} nas mesmas condições.
  • Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
    • Velocidade média do ar: U=50\\ \mathrm{ft/s}.
    • Diâmetro do tubo: d=1{,}0\\ \mathrm{in}=1/12\\ \mathrm{ft}=0{,}08333\\ \mathrm{ft}.
    • Temperatura do ar (corrente): 90^\circ\mathrm{F}. Vou usar T=90+459{,}67=549{,}67\\ ^\circ\mathrm{R} para cálculos com a constante dos gases.
    • Pressão média: P=1\\ \mathrm{atm}=14{,}696\\ \mathrm{psia}.
    • Temperatura do tubo (superfície): 50^\circ\mathrm{F} — usada para obter a pressão de vapor (dada).
    • Pressão de vapor da naftalina na superfície: P_{A,S}=0{,}0209\\ \mathrm{mmHg}.
    • Difusividade naftalina-ar: D_{AB}=0{,}20\\ \mathrm{ft^{2}/h}.
    • Concentração de saída desejada (c): C_{A,\text{out}}=3{,}7\times10^{-8}\\ \mathrm{lbmol/ft^{3}}.
  • Observações importantes que definem o modelo (assumidas a partir do enunciado):
    • A queda de pressão ao longo do tubo é desprezível (pressão praticamente constante).
    • A naftalina sublima na parede, estabelecendo na superfície uma pressão parcial igual a P_{A,S}. Pelo modelo de filme (resistência convectiva), o fluxo de massa da parede para o fluxo principal é controlado por um coeficiente de transferência de massa k_c.
    • Supõe-se escoamento totalmente desenvolvido em regime interno e mistura transversa suficiente para trabalhar com uma concentração média ao longo da seção (modelo plug flow no sentido axial com transferência de massa da parede para o fluido).
    • Vou usar correlações empíricas para obter k_c (número de Sherwood relacionando Re e Sc).

Passo 2

Converter e calcular quantidades básicas: área da seção, conversão de D_{AB} para \mathrm{ft^{2}/s}, concentração de vapor na superfície C_{A,S}.
  • Área da seção transversal do tubo:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}08333)^{2}}{4}=0{,}005454\\ \mathrm{ft^{2}}.
  • Perímetro interno do tubo:
P_{t}=\pi d=\pi(0{,}08333)=0{,}2618\\ \mathrm{ft}.
  • Difusividade em \mathrm{ft^{2}/s}:
D_{AB}=\frac{0{,}20\\ \mathrm{ft^{2}/h}}{3600\\ \mathrm{s/h}}=5{,}5556\times10^{-5}\\ \mathrm{ft^{2}/s}.
  • Concentração total do ar (lei dos gases ideais, em \mathrm{lbmol/ft^{3}}):
    usar a constante dos gases em unidades inglesas \;R=10{,}7316\\ \mathrm{psia\cdot ft^{3}/(lbmol\cdot ^\circ R)}.
C_{\text{total}}=\frac{P}{R T}=\frac{14{,}696}{10{,}7316\cdot 549{,}67}=0{,}002492\\ \mathrm{lbmol/ft^{3}}.
  • Converter P_{A,S} de \mathrm{mmHg} para \mathrm{psia}:
1\\ \mathrm{mmHg}=\frac{14{,}696}{760}\\ \mathrm{psia}=0{,}019339\\ \mathrm{psia},
P_{A,S}=0{,}0209\\ \mathrm{mmHg}\times 0{,}019339\\ \mathrm{psia/mmHg}=0{,}00040399\\ \mathrm{psia}.
  • Fração molar da naftalina na superfície:
y_{A,S}=\frac{P_{A,S}}{P}=\frac{0{,}00040399}{14{,}696}=2{,}749\times10^{-5}.
  • Concentração molar de naftalina na superfície (em \mathrm{lbmol/ft^{3}}):
C_{A,S}=y_{A,S}\,C_{\text{total}}=(2{,}749\times10^{-5})(0{,}002492)=6{,}847\times10^{-8}\\ \mathrm{lbmol/ft^{3}}.
(esta é a concentração de equilíbrio imposta pela pressão de vapor na superfície a 50^\circ\mathrm{F}.)

Passo 3

Explicar o modelo de balanço e a equação diferencial que governa a variação axial da concentração média.
  • Raciocínio físico e equação diferencial:
    • Considere um elemento de comprimento dx do tubo. A quantidade de mols de A que entra por convecção é U A\,C_{A} e sai U A\,(C_{A}+dC_{A}). A diferença axial por unidade de tempo deve ser igual ao fluxo fornecido pela parede ao longo do perímetro:
U A\,\frac{dC_{A}}{dx}=P_{t}\,k_{c}\,\bigl(C_{A,S}-C_{A}\bigr).
  • Aqui:
    • U é a velocidade média (ft/s).
    • A é a área da seção (ft^2).
    • P_{t} é o perímetro (ft).
    • k_{c} é o coeficiente de transferência de massa (ft/s).
    • C_{A} é a concentração média axial de A (lbmol/ft^3).
    • C_{A,S} é a concentração na superfície (lbmol/ft^3).
  • Colocar na forma padrão:
\frac{dC_{A}}{dx}=\frac{P_{t}k_{c}}{U A}\bigl(C_{A,S}-C_{A}\bigr).
  • Para um tubo circular P_{t}/A=4/d, então a constante do termo é
K=\frac{P_{t}k_{c}}{U A}=\frac{4k_{c}}{dU}\quad\bigl(\mathrm{unidade}:1/\mathrm{ft}\bigr).
  • A solução com condição de entrada C_{A}(0)=0 (assumindo ar limpo na entrada) é
C_{A}(x)=C_{A,S}\Bigl(1-\exp(-K x)\Bigr).
Assim, para obter C_{A}(L) desejado, basta calcular k_{c}, em seguida K, e usar a expressão acima.

Passo 4

Calcular o coeficiente de transferência de massa k_{c} usando correlação empírica (Sherwood) apropriada para escoamento interno turbulento.
  • Primeiro estimar o número de Reynolds e o número de Schmidt.
    • Para isso precisamos da viscosidade cinemática \nu do ar. Um valor típico em torno de 90^\circ\mathrm{F} é
\nu\approx 1{,}60\times10^{-4}\\ \mathrm{ft^{2}/s}.
(é um valor padrão aproximado para ar a essa temperatura; usar esta estimativa é aceitável em problemas de engenharia quando a viscosidade não é dada.)
  • Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{U d}{\nu}=\frac{50\cdot 0{,}08333}{1{,}60\times10^{-4}}=2{,}60\times10^{4}.
  • Schmidt:
\mathrm{Sc}=\frac{\nu}{D_{AB}}=\frac{1{,}60\times10^{-4}}{5{,}5556\times10^{-5}}=2{,}88.
  • Correlação de Sherwood (análoga a Dittus–Boelter para calor): para escoamento turbulento em tubo liso uma correlação comum é
\mathrm{Sh}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}83}\,\mathrm{Sc}^{0{,}33},
onde \mathrm{Sh}=\dfrac{k_{c} d}{D_{AB}}.
  • Calcular \mathrm{Sh}:
\mathrm{Re}^{0{,}83}=(2{,}604\times10^{4})^{0{,}83}\approx 4{,}624,
\mathrm{Sc}^{0{,}33}=2{,}88^{0{,}33}\approx 1{,}417,
\mathrm{Sh}=0{,}023\cdot 4{,}624\cdot 1{,}417\approx 150{,}7.
  • Então
k_{c}=\frac{\mathrm{Sh}\,D_{AB}}{d}=\frac{150{,}7\cdot 5{,}5556\times10^{-5}}{0{,}08333}=0{,}1005\\ \mathrm{ft/s}.
(Resumo do que cada símbolo significa: \mathrm{Sh} adimensional é a razão entre transporte convectivo e difusivo; \mathrm{Re} mede razão inércia/viscosidade; \mathrm{Sc} mede razão viscosidade cinemática/difusão molecular.)

Passo 5

Calcular a constante K e resolver para o comprimento L desejado (item c).
  • Usando k_{c}=0{,}1005\\ \mathrm{ft/s}, d=0{,}08333\\ \mathrm{ft}, U=50\\ \mathrm{ft/s}:
K=\frac{4k_{c}}{dU}=\frac{4\cdot 0{,}1005}{0{,}08333\cdot 50}=0{,}09645\\ \mathrm{ft^{-1}}.
  • A solução da equação (com C_{A}(0)=0) é
C_{A}(x)=C_{A,S}\Bigl(1-e^{-Kx}\Bigr).
  • Queremos C_{A}(L)=3{,}7\times10^{-8}\\ \mathrm{lbmol/ft^{3}}. Assim
1-e^{-K L}=\frac{C_{A}(L)}{C_{A,S}}=\frac{3{,}7\times10^{-8}}{6{,}847\times10^{-8}}=0{,}5403.
e^{-K L}=1-0{,}5403=0{,}4597\quad\Rightarrow\quad -K L=\ln(0{,}4597)=-0{,}7783.
L=\frac{0{,}7783}{K}=\frac{0{,}7783}{0{,}09645}=8{,}07\\ \mathrm{ft}.
Portanto o comprimento necessário é aproximadamente 8{,}07\\ \mathrm{ft}.

Passo 6

Determinar a vazão de naftalina sublimada para um comprimento L=6\\ \mathrm{ft} (item d).
  • Primeiro calcular a concentração de saída para x=6\\ \mathrm{ft}:
C_{A}(6)=C_{A,S}\Bigl(1-e^{-K\cdot 6}\Bigr).
e^{-K\cdot 6}=e^{-0{,}09645\cdot 6}=e^{-0{,}5787}=0{,}5606.
C_{A}(6)=6{,}847\times10^{-8}\cdot\bigl(1-0{,}5606\bigr)=6{,}847\times10^{-8}\cdot 0{,}4394=3{,}008\times10^{-8}\\ \mathrm{lbmol/ft^{3}}.
  • Vazão volumétrica do ar:
Q=U A=50\cdot 0{,}005454=0{,}27271\\ \mathrm{ft^{3}/s}.
  • Vazão molar de naftalina sublimada (lbmol/s) é \dot{n}_{A}=Q\cdot C_{A}(6):
\dot{n}_{A}=0{,}27271\cdot 3{,}008\times10^{-8}=8{,}206\times10^{-9}\\ \mathrm{lbmol/s}.
  • Se for necessário converter para vazão mássica (lbm/s), usar massa molar da naftalina M_{A}\approx 128{,}17\\ \mathrm{lbm/lbmol} (naftalina C_{10}H_{8}):
\dot{m}_{A}=\dot{n}_{A}\,M_{A}=8{,}206\times10^{-9}\cdot 128{,}17=1{,}051\times10^{-6}\\ \mathrm{lbm/s}.
(Se preferir em unidades por hora: \dot{m}_{A}\times 3600\approx 3{,}78\times10^{-3}\\ \mathrm{lbm/h}.)

Passo 7

Resumo dos resultados numéricos e comentários finais rápidos.
  • Comprimento calculado para atingir 3{,}7\times10^{-8}\\ \mathrm{lbmol/ft^{3}} é pouco maior que o comprimento de 6 ft, o que faz sentido com a razão C_{A,S} ser 6{,}847\times10^{-8}\\ \mathrm{lbmol/ft^{3}}.
  • A vazão de naftalina para 6 ft é pequena (ordem de 10^{-9}\\ \mathrm{lbmol/s}) — isso é típico de substâncias com baixa pressão de vapor.

Resposta

(c) L\approx 8{,}07\\ \mathrm{ft}.
(d) \dot{n}_{A}\approx 8{,}21\times10^{-9}\\ \mathrm{lbmol/s} \left(\dot{m}_{A}\approx 1{,}05\times10^{-6}\\ \mathrm{lbm/s}\right).

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