Questão 2 ( 3,0 pontos) - O campo de um escoamento tridimensional é dado por
, sendo que
e que
, onde
são constantes e
representa a variável tempo. Determine as possíveis soluções para a componente de velocidade na direção y para que este escoamento seja incompressível. É possível
depender do tempo?
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade tridimensional
com
onde
são constantes e
é o tempo. A tarefa é: determinar as possíveis soluções para a componente
(direção
) de modo que o escoamento seja incompressível e responder se
pode depender do tempo.
Passo 2
Relembrando o conceito: um escoamento é incompressível quando a divergência do campo de velocidade é zero. A divergência em coordenadas cartesianas é
Aqui
significa derivada parcial em relação a
mantendo
fixos, e analogamente para as outras derivadas. A condição de incompressibilidade é
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias usando as expressões dadas para
e
.
Primeiro,
pois
é tratado como constante quando se deriva em relação a
.
Segundo,
pois
não depende de
e a derivada de
é
.
Passo 4
Substituindo na condição de incompressibilidade:
Isolando
obtemos
Observe que o lado direito pode depender de
(isso é permitido: a derivada parcial em
pode resultar numa função que depende também de
).
Passo 5
Integrar a equação anterior em relação a
, tratando
como constantes durante a integração. A primitiva de
em
é
. Aparece uma “constante” de integração que, por ser integração parcial, pode ser uma função dos demais argumentos
. Assim a família geral de soluções é
onde
é uma função arbitrária de
(mas independente de
).
Passo 6
Interpretações e respostas às perguntas:
- A expressão
representa todas as componentes que tornam o escoamento incompressível; será determinada por condições de contorno ou iniciais, se fornecidas. - Sim,
pode depender do tempo: basta escolher com dependência temporal (por exemplo ou ). Não há restrição imposta pela equação de incompressibilidade que impeça dependência em . - Observação: a constante
não apareceu na condição porque não depende de ; portanto não impõe restrição à forma de .