Questão 2 ( 3,0 pontos) - O campo de um escoamento tridimensional é dado por V=u i+v j+w k, sendo que u=a x^{2}+y t e que w=b y t-c z, onde a, b, c são constantes e t representa a variável tempo. Determine as possíveis soluções para a componente de velocidade na direção y para que este escoamento seja incompressível. É possível v depender do tempo?
\begin{aligned} & \vec{v}=u \hat{i}+v \hat{j}+w \hat{k} \\\ & u \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade tridimensional
\vec{v}=u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k},
com
u = a x^{2}+y t,\qquad w = b y t - c z,
onde a,b,c são constantes e t é o tempo. A tarefa é: determinar as possíveis soluções para a componente v (direção y) de modo que o escoamento seja incompressível e responder se v pode depender do tempo.

Passo 2

Relembrando o conceito: um escoamento é incompressível quando a divergência do campo de velocidade é zero. A divergência em coordenadas cartesianas é
\nabla\cdot\vec{v}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}.
Aqui \partial/\partial x significa derivada parcial em relação a x mantendo y,z,t fixos, e analogamente para as outras derivadas. A condição de incompressibilidade é
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias usando as expressões dadas para u e w.
Primeiro,
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(a x^{2}+y t\big)=2a x,
pois y t é tratado como constante quando se deriva em relação a x.
Segundo,
\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(b y t - c z\big)=-c,
pois b y t não depende de z e a derivada de -c z é -c.

Passo 4

Substituindo na condição de incompressibilidade:
2a x+\frac{\partial v}{\partial y}-c=0.
Isolando \partial v/\partial y obtemos
\frac{\partial v}{\partial y}=c-2a x.
Observe que o lado direito pode depender de x (isso é permitido: a derivada parcial em y pode resultar numa função que depende também de x,z,t).

Passo 5

Integrar a equação anterior em relação a y, tratando x,z,t como constantes durante a integração. A primitiva de c-2a x em y é (c-2a x)\,y. Aparece uma “constante” de integração que, por ser integração parcial, pode ser uma função dos demais argumentos (x,z,t). Assim a família geral de soluções é
v(x,y,z,t)=(c-2a x)\,y+G(x,z,t),
onde G é uma função arbitrária de x,z,t (mas independente de y).

Passo 6

Interpretações e respostas às perguntas:
  • A expressão \,v(x,y,z,t)=(c-2a x)\,y+G(x,z,t)\, representa todas as componentes v que tornam o escoamento incompressível; G será determinada por condições de contorno ou iniciais, se fornecidas.
  • Sim, v pode depender do tempo: basta escolher G com dependência temporal (por exemplo G(x,z,t)=\sin t ou G(x,z,t)=H(x,z)\,T(t)). Não há restrição imposta pela equação de incompressibilidade que impeça dependência em t.
  • Observação: a constante b não apareceu na condição porque \partial w/\partial z não depende de b; portanto b não impõe restrição à forma de v.

Resposta

v(x,y,z,t)=(c-2a x)\,y+G(x,z,t), onde G é função arbitrária de x,z,t.\nSim — v pode depender de t através de G(x,z,t).

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