Considere um asteróide se aproximando do Sol, vindo de uma grande distância. Nesse instante ele tem uma velocidade constante u e está se movendo em uma linha reta cuja distância perpendicular do Sol é d.
(a). Encontre a equação satisfeita pelas distâncias apsidais da órbita subsequente do asteróide.
(b). Para o caso especial em que u^{2}=4 M_{O} G /(3 d), onde M_{O} é a massa do Sol, encontre a distância de maior aproximação do asteróide do Sol.
(c) Para o caso do ítem (b) acima, mostre que a velocidade do asteróide no ponto de maior aproximação ao Sol é 2 u.

Passo 1

O enunciado dá um asteróide vindo de muito longe com velocidade constante u, deslocando-se em linha reta cujo afastamento perpendicular do Sol (impact parameter) é d. A massa do Sol é M_{O} e a constante gravitacional é G. As perguntas são:
(a) Encontrar a equação satisfeita pelas distâncias apsidais (os valores de r onde a velocidade radial é zero) da órbita subsequente do asteróide.
(b) No caso especial \;u^{2}=\dfrac{4G M_{O}}{3d}, achar a distância de maior aproximação (pericentro) do asteróide ao Sol.
(c) Para o caso do item (b), mostrar que a velocidade do asteróide no ponto de maior aproximação é 2u.
Informações relevantes extraídas do enunciado que vamos usar:
  • A velocidade no infinito (energia por unidade de massa) é \dfrac{1}{2}u^{2}.
  • O momento angular por unidade de massa é o produto da velocidade transversal pelo braço: h = u\,d.
  • Vou usar \mu para abreviar \mu = G M_{O}.

Passo 2

Conservação de energia específica (energia por unidade de massa): em qualquer ponto da trajetória vale
E=\frac{1}{2}\dot r^{2}+\frac{h^{2}}{2r^{2}}-\frac{\mu}{r},
onde:
  • E é a energia específica total (energia por unidade de massa),
  • \dot r é a velocidade radial (derivada de r em relação ao tempo),
  • h é o momento angular por unidade de massa ( h=u d),
  • r é a distância ao Sol,
  • \mu=G M_{O} é o parâmetro gravitacional.
Explanação curta: o primeiro termo é a energia cinética radial, o segundo é a “energia cinética” associada ao movimento angular (chamamos também de termo centrífugo), e o último é a energia potencial gravitacional por unidade de massa.
No infinito, o potencial é zero e a velocidade total é u, logo
E=\frac{1}{2}u^{2}.

Passo 3

Definição de apsídeos: em um apsídeo (pericentro ou afélio/apoastro) a componente radial da velocidade zera, isto é \dot r=0. Substituindo \dot r=0 na equação da energia obtemos a condição para r apsidal:
E=\frac{h^{2}}{2r^{2}}-\frac{\mu}{r}.
Multiplicando ambos os lados por 2r^{2}
2E\,r^{2}=h^{2}-2\mu r.
Rearranjando para formar um polinômio em r,
2E\,r^{2}+2\mu r-h^{2}=0.
Agora substituímos E=\dfrac{1}{2}u^{2} (logo 2E=u^{2}) e h=ud (logo h^{2}=u^{2}d^{2}) para escrever a equação explicitamente em termos de u,d,\mu:
u^{2}r^{2}+2\mu r-u^{2}d^{2}=0.
Dividindo por u^{2} (não zero) também podemos escrever
r^{2}+\frac{2\mu}{u^{2}}\,r-d^{2}=0.
Isto responde o item (a): os valores de r que satisfazem essa quadrática são os apsídeos.

Passo 4

Para resolver a quadrática geral e obter as distâncias apsidais usamos a fórmula de Bhaskara. A solução para r da equação
u^{2}r^{2}+2\mu r-u^{2}d^{2}=0
é
r=\frac{-2\mu\pm\sqrt{(2\mu)^{2}+4u^{4}d^{2}}}{2u^{2}} =\frac{-\mu\pm\sqrt{\mu^{2}+u^{4}d^{2}}}{u^{2}}.
Em geral uma dessas raízes é a periapside (menor r positivo) e a outra pode ser negativa ou corresponder a outro ponto geométrico dependendo do tipo de órbita (elíptica, parabólica, hiperbólica). No caso de chegada do infinito com E>0 temos órbita hiperbólica; portanto há um pericentro positivo (a outra raiz pode ser negativa).

Passo 5

Agora tratamos o caso especial do item (b): \;u^{2}=\dfrac{4\mu}{3d}.
Vamos substituir esse valor na expressão do discriminante para simplificar. Primeiro calculemos u^{4}d^{2}:
u^{4}d^{2}=\left(\frac{4\mu}{3d}\right)^{2}d^{2}=\frac{16\mu^{2}}{9}.
Logo
\mu^{2}+u^{4}d^{2}=\mu^{2}+\frac{16\mu^{2}}{9}=\frac{25\mu^{2}}{9},
e a raiz quadrada é
\sqrt{\mu^{2}+u^{4}d^{2}}=\frac{5\mu}{3}.
Substituindo na fórmula das raízes:
r=\frac{-\mu\pm \frac{5\mu}{3}}{u^{2}}.
As duas raízes são
r_{1}=\frac{-\mu+\frac{5\mu}{3}}{u^{2}}=\frac{\frac{2\mu}{3}}{u^{2}}, \qquad r_{2}=\frac{-\mu-\frac{5\mu}{3}}{u^{2}}=\frac{-\frac{8\mu}{3}}{u^{2}}.
A raiz negativa r_{2} não tem significado físico como distância, portanto o pericentro é r_{1}. Agora substituímos u^{2}=\dfrac{4\mu}{3d} em r_{1}:
r_{1}=\frac{\frac{2\mu}{3}}{\,\dfrac{4\mu}{3d}\,} =\frac{2\mu}{3}\cdot\frac{3d}{4\mu} =\frac{2d}{4}=\frac{d}{2}.
Portanto, no caso dado, a distância de maior aproximação (pericentro) é \dfrac{d}{2}. Isso responde (b).

Passo 6

Agora (c): mostrar que a velocidade no pericentro vale 2u.
Usamos conservação do momento angular por unidade de massa: h é constante e igual ao produto do raio pela componente transversal da velocidade. No pericentro a velocidade é puramente transversal (não há componente radial), então
h=r_{\min}\,v_{\mathrm{p}},
onde v_{\mathrm{p}} é a velocidade no pericentro e r_{\min}=d/2. Como h=ud, obtemos
u d = \frac{d}{2}\,v_{\mathrm{p}} \quad\Rightarrow\quad v_{\mathrm{p}}=\frac{ud}{d/2}=2u.
Como verificação alternativa (energia): usando E=\tfrac{1}{2}u^{2} e E=\tfrac{1}{2}v_{\mathrm{p}}^{2}-\dfrac{\mu}{r_{\min}}, substituir r_{\min}=d/2 e \mu ligado a u^{2} pelo caso especial também conduz a v_{\mathrm{p}}=2u. Ambas as maneiras confirmam o resultado.

Resposta

(a) \;u^{2}r^{2}+2\mu r-u^{2}d^{2}=0.
(b) \;r_{\min}=\dfrac{d}{2}.
(c) \;v_{\mathrm{p}}=2u.

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