Considere um asteróide se aproximando do Sol, vindo de uma grande distância. Nesse instante ele tem uma velocidade constante
e está se movendo em uma linha reta cuja distância perpendicular do Sol é
.
(a). Encontre a equação satisfeita pelas distâncias apsidais da órbita subsequente do asteróide.
(b). Para o caso especial em que
, onde
é a massa do Sol, encontre a distância de maior aproximação do asteróide do Sol.
(c) Para o caso do ítem (b) acima, mostre que a velocidade do asteróide no ponto de maior aproximação ao Sol é
.
(a). Encontre a equação satisfeita pelas distâncias apsidais da órbita subsequente do asteróide.
(b). Para o caso especial em que
(c) Para o caso do ítem (b) acima, mostre que a velocidade do asteróide no ponto de maior aproximação ao Sol é
Passo 1
O enunciado dá um asteróide vindo de muito longe com velocidade constante
, deslocando-se em linha reta cujo afastamento perpendicular do Sol (impact parameter) é
. A massa do Sol é
e a constante gravitacional é
. As perguntas são:
(a) Encontrar a equação satisfeita pelas distâncias apsidais (os valores de onde a velocidade radial é zero) da órbita subsequente do asteróide.
(b) No caso especial , achar a distância de maior aproximação (pericentro) do asteróide ao Sol.
(c) Para o caso do item (b), mostrar que a velocidade do asteróide no ponto de maior aproximação é .
(a) Encontrar a equação satisfeita pelas distâncias apsidais (os valores de
(b) No caso especial
(c) Para o caso do item (b), mostrar que a velocidade do asteróide no ponto de maior aproximação é
Informações relevantes extraídas do enunciado que vamos usar:
- A velocidade no infinito (energia por unidade de massa) é
. - O momento angular por unidade de massa é o produto da velocidade transversal pelo braço:
. - Vou usar
para abreviar .
Passo 2
Conservação de energia específica (energia por unidade de massa): em qualquer ponto da trajetória vale
onde:
-
é a energia específica total (energia por unidade de massa), -
é a velocidade radial (derivada de em relação ao tempo), -
é o momento angular por unidade de massa ( ), -
é a distância ao Sol, -
é o parâmetro gravitacional.
Explanação curta: o primeiro termo é a energia cinética radial, o segundo é a “energia cinética” associada ao movimento angular (chamamos também de termo centrífugo), e o último é a energia potencial gravitacional por unidade de massa.
No infinito, o potencial é zero e a velocidade total é
, logo
Passo 3
Definição de apsídeos: em um apsídeo (pericentro ou afélio/apoastro) a componente radial da velocidade zera, isto é
. Substituindo
na equação da energia obtemos a condição para
apsidal:
Multiplicando ambos os lados por
dá
Rearranjando para formar um polinômio em
,
Agora substituímos
(logo
) e
(logo
) para escrever a equação explicitamente em termos de
:
Dividindo por
(não zero) também podemos escrever
Isto responde o item (a): os valores de
que satisfazem essa quadrática são os apsídeos.
Passo 4
Para resolver a quadrática geral e obter as distâncias apsidais usamos a fórmula de Bhaskara. A solução para
da equação
é
Em geral uma dessas raízes é a periapside (menor
positivo) e a outra pode ser negativa ou corresponder a outro ponto geométrico dependendo do tipo de órbita (elíptica, parabólica, hiperbólica). No caso de chegada do infinito com
temos órbita hiperbólica; portanto há um pericentro positivo (a outra raiz pode ser negativa).
Passo 5
Agora tratamos o caso especial do item (b):
.
Vamos substituir esse valor na expressão do discriminante para simplificar. Primeiro calculemos :
Vamos substituir esse valor na expressão do discriminante para simplificar. Primeiro calculemos
Logo
e a raiz quadrada é
Substituindo na fórmula das raízes:
As duas raízes são
A raiz negativa
não tem significado físico como distância, portanto o pericentro é
. Agora substituímos
em
:
Portanto, no caso dado, a distância de maior aproximação (pericentro) é
. Isso responde (b).
Passo 6
Agora (c): mostrar que a velocidade no pericentro vale
.
Usamos conservação do momento angular por unidade de massa:
é constante e igual ao produto do raio pela componente transversal da velocidade. No pericentro a velocidade é puramente transversal (não há componente radial), então
onde
é a velocidade no pericentro e
. Como
, obtemos
Como verificação alternativa (energia): usando
e
, substituir
e
ligado a
pelo caso especial também conduz a
. Ambas as maneiras confirmam o resultado.
Resposta
(a)
(b)
(c)