A Lua se move ao redor da Terra numa órbita quase circular de raio 384000 km e com período de 27.32 dias. Callisto, a quarta lua de Jupiter, se move numa órbita quase circular de raio 1883000 km e com período de 16.69 dias. Mostre que a massa de Jupiter, como um multiplo da massa da Terra, deve ser aproximadamente
.
Passo 1
O enunciado pede para estimar a razão entre a massa de Júpiter e a massa da Terra, usando dados orbitais das suas luas. Dados fornecidos:
A pergunta é: mostrar que a massa de Júpiter, medida como múltiplo da massa da Terra, é aproximadamente
.
Passo 2
Vamos escrever a relação que liga o período orbital ao raio e à massa central. Prestando atenção à física: a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta da lua/satélite. Começamos por igualar a força gravitacional à força centrípeta:
onde
é a constante gravitacional,
é a massa do corpo central (Terra ou Júpiter),
é a massa do satélite (Lua ou Calisto),
é o raio da órbita e
é a velocidade orbital. Cancelando
e reorganizando:
A velocidade orbital média está relacionada ao período
por
(pois em uma volta percorrer-se
em tempo
). Substituindo:
Rearranjando obtemos a forma de Kepler/Newton que usaremos:
Aqui explico cada símbolo:
é o período da órbita (tempo de uma volta),
é o raio médio da órbita,
é a constante gravitacional (a mesma para ambos os sistemas), e
é a massa do corpo central (Terra ou Júpiter). Assumimos que a massa do satélite
é desprezível comparada a
, por isso
.
Passo 3
Isolando
da equação temos:
Queremos a razão
. Substituindo a expressão acima para cada planeta:
Os fatores
cancelam porque são os mesmos nos dois sistemas. Isto é uma grande vantagem: não precisamos conhecer
nem converter para unidades SI, desde que utilizemos as mesmas unidades para
e para
em numerador e denominador. Podemos reorganizar convenientemente:
Essa fórmula é intuitiva: uma órbita maior (maior
) tende a aumentar a massa necessária para manter o mesmo período; um período maior diminui a massa necessária — e aqui usamos os dados relativos dos dois sistemas.
Passo 4
Agora é só calcular com os números dados. Primeiro a razão dos raios:
Elevando ao cubo:
Agora a razão dos períodos:
Elevando ao quadrado:
Multiplicando os dois fatores:
Arredondando para um número simples, obtemos aproximadamente
.
Passo 5
Resumo prático do raciocínio para a prova: use a relação
(derivada acima), escreva a razão de massas para dois sistemas como
, e plugue os valores numéricos. Os fatores físicos universais cancelam, então você precisa só das razões dos raios e dos períodos. Isso é rápido e robusto em prova.