A Lua se move ao redor da Terra numa órbita quase circular de raio 384000 km e com período de 27.32 dias. Callisto, a quarta lua de Jupiter, se move numa órbita quase circular de raio 1883000 km e com período de 16.69 dias. Mostre que a massa de Jupiter, como um multiplo da massa da Terra, deve ser aproximadamente M_{J} \simeq 316 M_{T}.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a razão entre a massa de Júpiter e a massa da Terra, usando dados orbitais das suas luas. Dados fornecidos:
\text{Raio da órbita da Lua (em torno da Terra): } r_{T}=384000\\ \text{km}ó
\text{Período da Lua: } T_{T}=27,32\\ \text{dias}í
\text{Raio da órbita de Calisto (em torno de Júpiter): } r_{J}=1883000\\ \text{km}óú
\text{Período de Calisto: } T_{J}=16,69\\ \text{dias}í
A pergunta é: mostrar que a massa de Júpiter, medida como múltiplo da massa da Terra, é aproximadamente \,M_{J}\simeq 316\,M_{T}.

Passo 2

Vamos escrever a relação que liga o período orbital ao raio e à massa central. Prestando atenção à física: a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta da lua/satélite. Começamos por igualar a força gravitacional à força centrípeta:
\frac{G M m}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r},
onde G é a constante gravitacional, M é a massa do corpo central (Terra ou Júpiter), m é a massa do satélite (Lua ou Calisto), r é o raio da órbita e v é a velocidade orbital. Cancelando m e reorganizando:
\frac{G M}{r^{2}} = \frac{v^{2}}{r}\quad\Rightarrow\quad v^{2}=\frac{G M}{r}.
A velocidade orbital média está relacionada ao período T por v=\dfrac{2\pi r}{T} (pois em uma volta percorrer-se \,2\pi r em tempo T). Substituindo:
\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^{2}=\frac{G M}{r}.
Rearranjando obtemos a forma de Kepler/Newton que usaremos:
T^{2}=\frac{4\pi^{2}}{G M}\,r^{3}.
Aqui explico cada símbolo: T é o período da órbita (tempo de uma volta), r é o raio médio da órbita, G é a constante gravitacional (a mesma para ambos os sistemas), e M é a massa do corpo central (Terra ou Júpiter). Assumimos que a massa do satélite m é desprezível comparada a M, por isso M+m\approx M.

Passo 3

Isolando M da equação temos:
M=\frac{4\pi^{2}}{G}\,\frac{r^{3}}{T^{2}}.
Queremos a razão \dfrac{M_{J}}{M_{T}}. Substituindo a expressão acima para cada planeta:
\frac{M_{J}}{M_{T}}=\frac{\dfrac{4\pi^{2}}{G}\,\dfrac{r_{J}^{3}}{T_{J}^{2}}}{\dfrac{4\pi^{2}}{G}\,\dfrac{r_{T}^{3}}{T_{T}^{2}}} =\frac{r_{J}^{3}/T_{J}^{2}}{r_{T}^{3}/T_{T}^{2}}.
Os fatores 4\pi^{2}/G cancelam porque são os mesmos nos dois sistemas. Isto é uma grande vantagem: não precisamos conhecer G nem converter para unidades SI, desde que utilizemos as mesmas unidades para r e para T em numerador e denominador. Podemos reorganizar convenientemente:
\frac{M_{J}}{M_{T}}=\left(\frac{r_{J}}{r_{T}}\right)^{3}\left(\frac{T_{T}}{T_{J}}\right)^{2}.
Essa fórmula é intuitiva: uma órbita maior (maior r) tende a aumentar a massa necessária para manter o mesmo período; um período maior diminui a massa necessária — e aqui usamos os dados relativos dos dois sistemas.

Passo 4

Agora é só calcular com os números dados. Primeiro a razão dos raios:
\frac{r_{J}}{r_{T}}=\frac{1883000}{384000}=\frac{1883}{384}\approx 4,90365.
Elevando ao cubo:
\left(\frac{r_{J}}{r_{T}}\right)^{3}\approx 4,90365^{3}\approx 117,9118.
Agora a razão dos períodos:
\frac{T_{T}}{T_{J}}=\frac{27,32}{16,69}=\frac{2732}{1669}\approx 1,63690.
Elevando ao quadrado:
\left(\frac{T_{T}}{T_{J}}\right)^{2}\approx 1,63690^{2}\approx 2,67944.
Multiplicando os dois fatores:
\frac{M_{J}}{M_{T}}\approx 117,9118\times 2,67944\approx 315,94.
Arredondando para um número simples, obtemos aproximadamente 316.

Passo 5

Resumo prático do raciocínio para a prova: use a relação T^{2}\propto r^{3}/M (derivada acima), escreva a razão de massas para dois sistemas como \left(\dfrac{r_{J}}{r_{T}}\right)^{3}\!\left(\dfrac{T_{T}}{T_{J}}\right)^{2}, e plugue os valores numéricos. Os fatores físicos universais cancelam, então você precisa só das razões dos raios e dos períodos. Isso é rápido e robusto em prova.

Resposta

M_{J}\simeq 316\,M_{T}

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