Imagine que um homem está sobre um vagão aberto contendo minério de Ferro, de massa total
. O vagão está parado sobre trilhos sem atrito.
O homem deseja colocar o vagão em movimento sobre os trilhos, porém ele consegue no máximo:
- Levantar um peso de 50 kg .
- Jogar um objeto para fora do trilho a uma velocidade de
.
Qual deveria ser a massa de minério de ferro jogada (na velocidade máxima) para fora do vagão para esse se movimentar a uma velocidade de
?
Qual deveria ser a massa de minério de ferro jogada (na velocidade máxima) para fora do vagão para esse se movimentar a uma velocidade de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Massa total do minério inicialmente sobre o vagão:
. - O homem consegue arremessar (na velocidade máxima) um pedaço de minério com velocidade relativa de
. - O homem consegue levantar no máximo
por vez (isso é uma restrição prática). - O vagão está inicialmente parado e sem atrito.
- O que se pede: qual deve ser a massa de minério jogada (usando a velocidade máxima de
) para que o vagão se mova com velocidade final .
Passo 2
Vamos organizar as variáveis que vamos usar (tudo em relação ao solo, salvo quando dito “relativa”):
-
é a massa inicial do minério sobre o vagão (antes de jogar qualquer coisa). Dados: . -
é a massa do minério que será jogada fora (é o que queremos achar). -
é a velocidade final do vagão (com o minério restante sobre ele). Dado: (para frente). -
é a velocidade de arremesso relativa ao vagão que o homem consegue: . Interpretamos aqui que o homem joga o fragmento para trás com velocidade relativa ao vagão (padrão em problemas de “propulsão por ejeção”).
Agora a regra física principal: conservação da quantidade de movimento (momentum) na direção horizontal. Explicando a ideia de maneira bem prática:
- Se não há forças horizontais externas (aqui trilhos sem atrito), a soma das quantidades de movimento antes do evento é igual à soma depois do evento.
- Quantidade de movimento (momentum) de um corpo é definida como
. - Inicialmente tudo está parado, então o momentum total inicial é zero.
- Após o arremesso, o vagão (com o minério restante) tem momentum
e o fragmento arremessado tem momentum , onde é a velocidade do fragmento em relação ao solo.
Precisamos relacionar
com
e
. Se o pedaço é lançado para trás com velocidade
relativa ao vagão, então sua velocidade em relação ao solo é
A conservação do momentum (inicial
) dá:
Passo 3
Vamos desenvolver a equação do passo anterior com calma e isolar
.
Começando por
Expandindo os termos:
Observe que os termos
e
se cancelam, sobrando
Isolando
:
Esse resultado é intuitivo: para um único arremesso instantâneo com velocidade relativa
, a massa necessária é proporcional à massa inicial
e à velocidade desejada
, e inversamente proporcional à velocidade de arremesso
.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos dados:
Fazendo a conta:
Portanto, se o homem tentasse dar um único arremesso de massa
com velocidade relativa
, seria necessário arremessar
de minério para que o vagão adquirisse
.
Passo 5
Interpretação prática e comentário sobre a restrição de levantar
:
- O resultado
é muito maior que a capacidade máxima de levantamento do homem ( ), então é impossível conseguir isso com um único arremesso. - Uma possibilidade prática seria arremessar muitos pedaços menores sucessivamente (cada um até
). Nesse caso o cálculo altera-se porque a velocidade do vagão aumenta gradualmente e cada arremesso tem efeito um pouco diferente. Se o homem arremessar muitos pedaços pequenos com velocidade relativa , e o processo for contínuo, a relação entre velocidade final e massa total ejetada é (derivada por integração)
Isolando
dá
Substituindo
,
,
:
Isso significa que, se o homem puder arremessar sucessivamente muitos pedaços de minério sempre à velocidade relativa
, precisará ejetar no total cerca de
. Em termos de pedaços de
, seriam necessárias
arremessos (o último arremesso poderia ser um pouco menor que
).