Imagine que um homem está sobre um vagão aberto contendo minério de Ferro, de massa total M=5.000 \mathrm{~kg}. O vagão está parado sobre trilhos sem atrito.
O homem deseja colocar o vagão em movimento sobre os trilhos, porém ele consegue no máximo:
  • Levantar um peso de 50 kg .
  • Jogar um objeto para fora do trilho a uma velocidade de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
    Qual deveria ser a massa de minério de ferro jogada (na velocidade máxima) para fora do vagão para esse se movimentar a uma velocidade de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Massa total do minério inicialmente sobre o vagão: M=5{,}000\\ \mathrm{kg}.
  • O homem consegue arremessar (na velocidade máxima) um pedaço de minério com velocidade relativa de 5\\ \mathrm{m/s}.
  • O homem consegue levantar no máximo 50\\ \mathrm{kg} por vez (isso é uma restrição prática).
  • O vagão está inicialmente parado e sem atrito.
  • O que se pede: qual deve ser a massa de minério jogada (usando a velocidade máxima de 5\\ \mathrm{m/s}) para que o vagão se mova com velocidade final 1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Vamos organizar as variáveis que vamos usar (tudo em relação ao solo, salvo quando dito “relativa”):
  • M é a massa inicial do minério sobre o vagão (antes de jogar qualquer coisa). Dados: M=5{,}000\\ \mathrm{kg}.
  • m é a massa do minério que será jogada fora (é o que queremos achar).
  • V é a velocidade final do vagão (com o minério restante sobre ele). Dado: V=1\\ \mathrm{m/s} (para frente).
  • u é a velocidade de arremesso relativa ao vagão que o homem consegue: u=5\\ \mathrm{m/s}. Interpretamos aqui que o homem joga o fragmento para trás com velocidade u relativa ao vagão (padrão em problemas de “propulsão por ejeção”).
Agora a regra física principal: conservação da quantidade de movimento (momentum) na direção horizontal. Explicando a ideia de maneira bem prática:
  • Se não há forças horizontais externas (aqui trilhos sem atrito), a soma das quantidades de movimento antes do evento é igual à soma depois do evento.
  • Quantidade de movimento (momentum) de um corpo é definida como p = \text{massa}\times\text{velocidade}.
  • Inicialmente tudo está parado, então o momentum total inicial é zero.
  • Após o arremesso, o vagão (com o minério restante) tem momentum (M-m)\,V e o fragmento arremessado tem momentum m\,v_{\text{eject}}, onde v_{\text{eject}} é a velocidade do fragmento em relação ao solo.
Precisamos relacionar v_{\text{eject}} com u e V. Se o pedaço é lançado para trás com velocidade u relativa ao vagão, então sua velocidade em relação ao solo é
v_{\text{eject}} = V - u.
A conservação do momentum (inicial 0) dá:
0 = (M-m)\,V + m\,(V - u).

Passo 3

Vamos desenvolver a equação do passo anterior com calma e isolar m.
Começando por
0 = (M-m)\,V + m\,(V - u).
Expandindo os termos:
0 = M V - m V + m V - m u.
Observe que os termos -mV e +mV se cancelam, sobrando
0 = M V - m u.
Isolando m:
m = \frac{M V}{u}.
Esse resultado é intuitivo: para um único arremesso instantâneo com velocidade relativa u, a massa necessária é proporcional à massa inicial M e à velocidade desejada V, e inversamente proporcional à velocidade de arremesso u.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos dados:
m = \frac{M V}{u} = \frac{5{,}000\\ \mathrm{kg}\times 1\\ \mathrm{m/s}}{5\\ \mathrm{m/s}}.
Fazendo a conta:
m = \frac{5{,}000}{5}\\ \mathrm{kg} = 1{,}000\\ \mathrm{kg}.
Portanto, se o homem tentasse dar um único arremesso de massa m com velocidade relativa 5\\ \mathrm{m/s}, seria necessário arremessar 1{,}000\\ \mathrm{kg} de minério para que o vagão adquirisse 1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Interpretação prática e comentário sobre a restrição de levantar 50\\ \mathrm{kg}:
  • O resultado m=1{,}000\\ \mathrm{kg} é muito maior que a capacidade máxima de levantamento do homem ( 50\\ \mathrm{kg}), então é impossível conseguir isso com um único arremesso.
  • Uma possibilidade prática seria arremessar muitos pedaços menores sucessivamente (cada um até 50\\ \mathrm{kg}). Nesse caso o cálculo altera-se porque a velocidade do vagão aumenta gradualmente e cada arremesso tem efeito um pouco diferente. Se o homem arremessar muitos pedaços pequenos com velocidade relativa u, e o processo for contínuo, a relação entre velocidade final V e massa total ejetada m_{\text{tot}} é (derivada por integração)
V = u\ln\!\left(\frac{M}{M - m_{\text{tot}}}\right).
Isolando m_{\text{tot}}
m_{\text{tot}} = M\left(1 - e^{-V/u}\right).
Substituindo M=5{,}000\\ \mathrm{kg}, V=1\\ \mathrm{m/s}, u=5\\ \mathrm{m/s}:
m_{\text{tot}} = 5{,}000\left(1 - e^{-1/5}\right) \approx 906{,}35\\ \mathrm{kg}.
Isso significa que, se o homem puder arremessar sucessivamente muitos pedaços de minério sempre à velocidade relativa 5\\ \mathrm{m/s}, precisará ejetar no total cerca de 906{,}35\\ \mathrm{kg}. Em termos de pedaços de 50\\ \mathrm{kg}, seriam necessárias \lceil 906{,}35/50\rceil = 19 arremessos (o último arremesso poderia ser um pouco menor que 50\\ \mathrm{kg}).

Resposta

1000\\ \mathrm{kg}

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