. a). Encontre a condição para existência de órbitas circulares para uma energia potencial da forma
U(r)=-\frac{c}{r^{\lambda}}
onde \lambda, c são diferentes de zero. b). Qual a condição adicional para que a órbita seja estável (em que a frequência de pequenas oscilações em torno da órbita circular é real) ?
(respostas: a) \lambda c>0; b) \lambda<2 )

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial
U(r) = -\frac{c}{r^{\lambda}},
com \lambda\neq0 e c\neq0, e pede duas coisas:
  1. (a) A condição para existir órbitas circulares (isto é, existir um raio r_{0}>0 tal que a partícula se mova em círculo).
  2. (b) A condição adicional para que essa órbita circular seja estável, no sentido de que pequenas oscilações radiais em torno de r_{0} tenham frequência real (oscilações harmônicas, não divergentes).
Informações relevantes que vamos usar: a massa da partícula m>0 e o momento angular L são constantes (assumimos L\neq0 para órbita circular não-trivial). Não se resolve nada neste passo, apenas organizamos o que é pedido e os dados.

Passo 2

Ideia física/matemática usada (explicada passo a passo):
  • Para uma órbita circular de raio r_{0} a coordenada radial fica constante. Em termos de energia efetiva, isso significa que r_{0} é um ponto de equilíbrio do potencial efetivo.
  • Definimos o potencial efetivo
U_{\mathrm{eff}}(r)=U(r)+\frac{L^{2}}{2m r^{2}}.
Aqui U(r) é a potencial fornecido e \dfrac{L^{2}}{2m r^{2}} é a “energia centrífuga” associada ao momento angular. A condição de equilíbrio (órbita circular) é
\left.\frac{\mathrm{d}U_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}r}\right|_{r=r_{0}}=0.
  • Para estabilidade frente a pequenas perturbações radiais usamos a expansão de Taylor de U_{\mathrm{eff}}(r) em torno de r_{0}. Se a segunda derivada
\left.\frac{\mathrm{d}^{2}U_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}r^{2}}\right|_{r=r_{0}}>0,
então r_{0} é um mínimo local do potencial efetivo e as pequenas oscilações são harmônicas com frequência
\omega^{2}=\frac{1}{m}\left.\frac{\mathrm{d}^{2}U_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}r^{2}}\right|_{r=r_{0}}.
Se \omega^{2}>0 a frequência é real e a órbita é linearmente estável.

Passo 3

Calcular a derivada de U(r) para o potencial dado. Partimos de
U(r)=-c\,r^{-\lambda}.
Derivando:
\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r} = -c\cdot(-\lambda)\,r^{-(\lambda+1)} = c\lambda\,r^{-(\lambda+1)}.
Expliquei: usei a regra da potência \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}r^{n}=n r^{n-1} com n=-\lambda.

Passo 4

Derivar a parte centrífuga e escrever a condição de equilíbrio. A derivada da parte centrífuga é
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{L^{2}}{2m r^{2}}\right) = -\frac{L^{2}}{m r^{3}}.
Logo a condição \dfrac{\mathrm{d}U_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}r}=0
\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r} - \frac{L^{2}}{m r^{3}} = 0.
Substituindo \dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}=c\lambda r^{-(\lambda+1)} obtemos a equação de equilíbrio
c\lambda\,r^{-(\lambda+1)} = \frac{L^{2}}{m r^{3}}.

Passo 5

Resolver a equação para r_{0} e obter a condição de existência. Multiplicando ambos os lados por r^{\lambda+1} e reorganizando:
c\lambda = \frac{L^{2}}{m} r^{-(2-\lambda)}.
ou, isolando r,
r^{2-\lambda} = \frac{L^{2}}{m c\lambda}.
Para que exista um r_{0}>0 real que satisfaça essa igualdade, o lado direito deve ser positivo. Como L^{2}>0 e m>0, isso exige
c\lambda>0.
Esse é exatamente o resultado pedido em (a): a existência de órbita circular requer \lambda c>0.

Passo 6

Agora a estabilidade: calculamos a segunda derivada de U_{\mathrm{eff}}(r).
Primeiro a segunda derivada de U(r):
\frac{\mathrm{d}^{2}U}{\mathrm{d}r^{2}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\bigl(c\lambda r^{-(\lambda+1)}\bigr) = c\lambda\bigl(-(\lambda+1)\bigr) r^{-(\lambda+2)} = -c\lambda(\lambda+1)\,r^{-(\lambda+2)}.
Segunda derivada da parte centrífuga:
\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}r^{2}}\left(\frac{L^{2}}{2m r^{2}}\right) = \frac{3L^{2}}{m r^{4}}.
Somando obtemos
\frac{\mathrm{d}^{2}U_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}r^{2}} = -c\lambda(\lambda+1)\,r^{-(\lambda+2)} + \frac{3L^{2}}{m r^{4}}.

Passo 7

Usar a relação de equilíbrio para simplificar a expressão da segunda derivada. Da equação de equilíbrio do Passo 4 temos, multiplicando por r^{3},
\frac{L^{2}}{m} = c\lambda\,r^{2-\lambda}.
Substituindo na expressão de \dfrac{\mathrm{d}^{2}U_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}r^{2}}:
\frac{\mathrm{d}^{2}U_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}r^{2}} = -c\lambda(\lambda+1)\,r^{-(\lambda+2)} + 3\bigl(c\lambda\,r^{2-\lambda}\bigr)\,r^{-4}.
Simplificando as potências r^{2-\lambda}r^{-4}=r^{-(\lambda+2)} e fatorando c\lambda r^{-(\lambda+2)},
\frac{\mathrm{d}^{2}U_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}r^{2}} = c\lambda\bigl(-(\lambda+1)+3\bigr)\,r^{-(\lambda+2)} = c\lambda(2-\lambda)\,r^{-(\lambda+2)}.

Passo 8

Condição para estabilidade e expressão da frequência. Para que pequenas oscilações sejam harmônicas com frequência real precisamos de
\left.\frac{\mathrm{d}^{2}U_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d}r^{2}}\right|_{r_{0}}>0,
ou seja
c\lambda(2-\lambda)\,r_{0}^{-(\lambda+2)}>0.
Como r_{0}^{-(\lambda+2)}>0 sempre (para r_{0}>0), a condição reduz-se a
c\lambda(2-\lambda)>0.
Mas da existência já temos c\lambda>0. Dividindo por esse fator positivo, a condição extra fica
2-\lambda>0 \quad\Rightarrow\quad \lambda<2.
Assim a órbita é estável quando \lambda<2. A frequência das pequenas oscilações é
\omega^{2}=\frac{1}{m}\,c\lambda(2-\lambda)\,r_{0}^{-(\lambda+2)},
o que é positivo exatamente quando \lambda<2 (dado c\lambda>0).

Passo 9

Exemplos rápidos para fixar a intuição:
  • Para \lambda=1 (potencial tipo gravitacional/Coulomb com c>0) temos \lambda c>0 e \lambda<2, logo órbitas circulares existem e são estáveis — clássico resultado conhecido.
  • Se \lambda=3 com c>0 então \lambda c>0 (existe órbita circular) mas \lambda=3>2 dá instabilidade (oscilações radiais exponenciais), ou seja a órbita é um máximo do potencial efetivo.
Força: você já tem a resolução completa e as dicas para aplicar o método na prova — começa escrevendo o potencial efetivo, impõe derivada nula para equilíbrio e verifica a segunda derivada para estabilidade. Vai dar certo!

Resposta

a) \lambda c>0
b) \lambda<2

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