. a). Encontre a condição para existência de órbitas circulares para uma energia potencial da forma
U(r)=-\frac{c}{r^{\lambda}}
onde \lambda, c são diferentes de zero. b). Qual a condição adicional para que a órbita seja estável (em que a frequência de pequenas oscilações em torno da órbita circular é real) ?
(respostas: a) \lambda c>0; b) \lambda<2 )
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial
U(r) = -\frac{c}{r^{\lambda}},
com \lambda\neq0 e c\neq0, e pede duas coisas:
(a) A condição para existir órbitas circulares (isto é, existir um raio r_{0}>0 tal que a partícula se mova em círculo).
(b) A condição adicional para que essa órbita circular seja estável, no sentido de que pequenas oscilações radiais em torno de r_{0} tenham frequência real (oscilações harmônicas, não divergentes).
Informações relevantes que vamos usar: a massa da partícula m>0 e o momento angular L são constantes (assumimos L\neq0 para órbita circular não-trivial). Não se resolve nada neste passo, apenas organizamos o que é pedido e os dados.
Passo 2
Ideia física/matemática usada (explicada passo a passo):
Para uma órbita circular de raio r_{0} a coordenada radial fica constante. Em termos de energia efetiva, isso significa que r_{0} é um ponto de equilíbrio do potencial efetivo.
Definimos o potencial efetivo
U_{\mathrm{eff}}(r)=U(r)+\frac{L^{2}}{2m r^{2}}.
Aqui U(r) é a potencial fornecido e \dfrac{L^{2}}{2m r^{2}} é a “energia centrífuga” associada ao momento angular. A condição de equilíbrio (órbita circular) é
o que é positivo exatamente quando \lambda<2 (dado c\lambda>0).
Passo 9
Exemplos rápidos para fixar a intuição:
Para \lambda=1 (potencial tipo gravitacional/Coulomb com c>0) temos \lambda c>0 e \lambda<2, logo órbitas circulares existem e são estáveis — clássico resultado conhecido.
Se \lambda=3 com c>0 então \lambda c>0 (existe órbita circular) mas \lambda=3>2 dá instabilidade (oscilações radiais exponenciais), ou seja a órbita é um máximo do potencial efetivo.
Força: você já tem a resolução completa e as dicas para aplicar o método na prova — começa escrevendo o potencial efetivo, impõe derivada nula para equilíbrio e verifica a segunda derivada para estabilidade. Vai dar certo!