Considere o átomo excitado da questão anterior (no nível n=5 ). Liste todas as transições possíveis que esse elétron pode realizar até retornar ao estado fundamental e calcule o comprimento de onda do fóton emitido na transição que gera a luz menos energética de toda essa cascata.

Passo 1

O enunciado dá que há um elétron em um átomo excitado no nível \,n=5. Pede duas coisas:
  • Listar todas as transições possíveis que esse elétron pode realizar até retornar ao estado fundamental ( n=1).
  • Calcular o comprimento de onda do fóton emitido na transição que gera a luz menos energética de toda essa cascata.
Observação necessária (assumida para poder resolver): assumir que se trata do átomo de hidrogênio ( Z=1). Não foi dada outra informação sobre o átomo, e a formulação típica do problema refere-se ao hidrogênio.
Dados extraídos do enunciado (assumidos):
  • Estado inicial: \,n_i=5.
  • Estado fundamental: \,n_f=1.
  • É necessário considerar todas as transições emissivas simples (um fóton por transição) entre os níveis \,n=5,4,3,2,1.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vou usar (explicação didática e prática):
  1. Níveis de energia do átomo de hidrogênio:
E_n = -\dfrac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{n^2},
onde \,E_n é a energia do elétron no nível \,n. O sinal negativo indica que o elétron está ligado ao átomo; quanto maior n, mais próximo de zero fica E_n.
  1. Energia do fóton emitido numa transição \,n_i\to n_f ( n_i>n_f):
\Delta E = E_{n_i}-E_{n_f} = h\nu = \dfrac{hc}{\lambda},
onde:
  • \,h é a constante de Planck,
  • \,c é a velocidade da luz,
  • \,\nu é a frequência do fóton,
  • \,\lambda é o comprimento de onda do fóton.
  1. Fórmula prática (fórmula de Rydberg) para comprimento de onda de uma transição no hidrogênio:
\dfrac{1}{\lambda} = R_H\!\left(\dfrac{1}{n_f^{2}} - \dfrac{1}{n_i^{2}}\right),
onde \,R_H é a constante de Rydberg para o hidrogênio. Vou usar o valor aproximado
R_H \approx 1{,}097373\times 10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Explicação curta do que cada símbolo significa:
  • \,\lambda é o comprimento de onda do fóton emitido (o que se pede),
  • \,n_i é o nível inicial (maior),
  • \,n_f é o nível final (menor),
  • \,R_H é uma constante que já reúne \,h,c e constantes elétricas para o hidrogênio — usar essa fórmula torna os cálculos diretos.
Dica prática para a prova: para achar o fóton menos energético na cascata, é suficiente identificar a transição com menor \Delta E, ou equivalentemente a menor diferença entre 1/n_f^2 e 1/n_i^2. Normalmente isso ocorre entre níveis vizinhos com n grande (por exemplo 5\to4).

Passo 3

Listar todas as transições possíveis (todas as combinações com n_i>n_f entre os níveis \{5,4,3,2,1\}). São as transições emissivas simples que podem ocorrer em algum passo da cascata:
\begin{aligned} &5\to4,\quad 5\to3,\quad 5\to2,\quad 5\to1,\\\ &4\to3,\quad 4\to2,\quad 4\to1,\\\ &3\to2,\quad 3\to1,\\\ &2\to1. \end{aligned}
(Conte: 10 linhas espectrais distintas no total — fórmula geral N=n(n-1)/2 com n=5 5\cdot4/2=10.)

Passo 4

Identificar a transição que gera a luz menos energética:
  • A energia emitida numa transição \,n_i\to n_f é proporcional a \,\left(\dfrac{1}{n_f^{2}}-\dfrac{1}{n_i^{2}}\right).
  • Para níveis fixos em \{1,2,3,4,5\}, essa diferença é mínima quando n_i e n_f são os níveis mais altos e mais próximos, isto é n_i=5 e n_f=4. Intuição: quanto maior n e mais próximos os níveis, menor é a diferença de energia entre eles.
    Logo, a transição menos energética é
5\to4.

Passo 5

Calcular o comprimento de onda da transição menos energética ( 5\to4) passo a passo usando a fórmula de Rydberg:
  1. Escrever a fórmula para esta transição:
\dfrac{1}{\lambda} = R_H\!\left(\dfrac{1}{4^{2}} - \dfrac{1}{5^{2}}\right).
  1. Calcular a diferença dentro dos parênteses:
\dfrac{1}{4^{2}} - \dfrac{1}{5^{2}} = \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{25} = \dfrac{25-16}{400} = \dfrac{9}{400}.
  1. Multiplicar por R_H:
\dfrac{1}{\lambda} = R_H\cdot\dfrac{9}{400}.
Usando R_H \approx 1{,}097373\times 10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}},
\dfrac{1}{\lambda} \approx 1{,}097373\times 10^{7}\times \dfrac{9}{400} = 1{,}097373\times 10^{7}\times 0{,}0225.
  1. Fazer a multiplicação (etapas numéricas claras):
1{,}097373\times 10^{7}\times 0{,}0225 \approx 2{,}46909\times 10^{5}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Portanto
\dfrac{1}{\lambda} \approx 2{,}46909\times 10^{5}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  1. Inverter para achar \lambda:
\lambda \approx \dfrac{1}{2{,}46909\times 10^{5}}\\ \mathrm{m} \approx 4{,}052\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  1. Expressões em unidades mais usuais:
\lambda \approx 4{,}052\times 10^{-6}\\ \mathrm{m} = 4{,}052\\ \mu\mathrm{m} = 4052\\ \mathrm{nm}.
Conclusão: a transição 5\to4 em hidrogênio emite um fóton no infravermelho, com comprimento de onda aproximadamente \,4{,}05\times10^{-6}\\ \mathrm{m} (cerca de \,4050\\ \mathrm{nm}).

Resposta

Transições possíveis: 5\to4,\;5\to3,\;5\to2,\;5\to1,\;4\to3,\;4\to2,\;4\to1,\;3\to2,\;3\to1,\;2\to1
Comprimento de onda da transição menos energética ( 5\to4): \lambda \approx 4{,}052\times 10^{-6}\\ \mathrm{m} (≈ 4052\\ \mathrm{nm})

Exercícios relacionados