Em uma reprodução do experimento de Franck-Hertz, um gás desconhecido é utilizado no lugar do mercúrio. Observa-se que a primeira queda brusca na corrente elétrica ocorre quando a voltagem aceleradora atinge 2,1 \mathrm{~V}. Qual é o comprimento de onda da luz emitida por esse gás quando os seus átomos retornam ao estado fundamental? A qual região do espectro eletromagnético essa luz pertence?

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte:
  • Dado fornecido: a primeira queda brusca na corrente acontece para uma voltagem aceleradora de 2,1\\ \mathrm{V}.
  • Perguntas: (1) Qual é o comprimento de onda da luz emitida quando os átomos retornam ao estado fundamental? (2) A qual região do espectro eletromagnético essa luz pertence?

Passo 2

Entendendo a ideia-chave (sem resolver ainda): quando um elétron acelerado colide inelasticamente e excita um átomo, a energia perdida pelo elétron é aproximada pela diferença de energia entre o estado fundamental e o primeiro estado excitado. Essa energia (em elétron-volts) é numericamente igual à voltagem aceleradora na qual aparece a primeira queda. Então a energia do fóton emitido quando o átomo voltar ao estado fundamental é igual a essa energia de excitação.

Passo 3

Converter a voltagem em energia de fóton. A relação é
E = eV,
onde E é a energia do fóton em joules, e é a carga elementar e V é a voltagem em volts. Aqui V=2,1. A constante e vale e=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (ou \mathrm{J/V}). Portanto
E = 2,1 \times 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Agora calcular numericamente:
E = 3,3645709314\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx 3,3646\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
(Explicação curta: multiplicou-se o valor em elétron-volts pela carga do elétron para obter joules.)

Passo 4

Relacionar energia do fóton com comprimento de onda. A fórmula da relação fóton-comprimento é
E = \frac{hc}{\lambda},
onde h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz; \lambda é o comprimento de onda procurado. Aqui usamos h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s} e c=2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. Isolando \lambda:
\lambda = \frac{hc}{E}.

Passo 5

Substituir os números e calcular \lambda. Primeiro calcule hc:
hc = 6,62607015\times10^{-34}\times 2,99792458\times10^{8} = 1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\,m}.
Agora
\lambda = \frac{1,98644586\times10^{-25}}{3,3645709314\times10^{-19}}\\ \mathrm{m}.
Fazendo a divisão:
\lambda \approx 5,90535\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}):
\lambda \approx 590,5\\ \mathrm{nm}.
(Arredondando de forma conveniente para duas ou três algarismos significativos, pode-se usar \lambda\approx590\\ \mathrm{nm}.)

Passo 6

Identificar a região do espectro. O intervalo de comprimentos de onda da luz visível vai aproximadamente de 380\\ \mathrm{nm} a 750\\ \mathrm{nm}. Um comprimento de onda de cerca de 590\\ \mathrm{nm} está na região visível, correspondendo a uma cor entre o amarelo e o laranja (aproximadamente amarelo-alaranjado).

Passo 7

Observações e suposições importantes (para fazer na prova): assumiu-se que toda a energia de excitação corresponde a um fóton que leva o átomo de volta diretamente ao estado fundamental. Em átomos reais pode haver passos intermediários (cascatas) que produzem fótons de comprimentos de onda diferentes; porém, no experimento de Franck–Hertz a primeira queda está associada à primeira energia de excitação, e o fóton característico tem energia igual a e\times V.

Resposta

\lambda \approx 5,90\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = 590,5\\ \mathrm{nm}
Visível (amarelo/alaranjado)

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