Um átomo de hidrogênio no seu estado fundamental absorve um fóton ultravioleta e é excitado para o nível n=5. Determine o comprimento de onda do fóton que causou essa excitação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Um átomo de hidrogênio estava no estado fundamental, isto é, no nível quântico \,n=1.
  • O átomo absorveu um fóton e foi excitado para o nível \,n=5.
  • Pede-se: determinar o comprimento de onda do fóton que causou essa excitação.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas).
  • Em modelos quânticos elementares (modelo de Bohr para o hidrogênio) os níveis de energia do elétron são dados por uma fórmula simples: cada nível \,n tem energia
E_n = -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^2}.
Aqui:
  • \,E_n é a energia do nível com número quântico principal \,n.
  • \,13{,}6\\ \text{eV} é a energia de ionização do hidrogênio (energia em módulo do nível fundamental).
  • O sinal negativo indica que o elétron está ligado (energia abaixo de zero de referência, que é o elétron livre).
  • Quando o átomo absorve um fóton e faz a transição de um nível inicial \,n_i para um nível final \,n_f, a energia do fóton \,E_{\text{fóton}}ó é igual à diferença de energia entre os níveis:
E_{\text{fóton}} = E_{n_f}-E_{n_i}.ó
  • Relação entre energia do fóton e comprimento de onda: a energia de um fóton também é relacionada à sua frequência \,\nu e comprimento de onda \,\lambda por
E_{\text{fóton}} = h\nu = \dfrac{h c}{\lambda},ó
onde:
  • \,h é a constante de Planck, \,h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • \,c é a velocidade da luz no vácuo, \,c = 2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Uma forma prática muito usada: como h c \approx 1240\\ \text{eV}\cdot\text{nm}, para energia em electronvolts obtém-se diretamente
\lambda\\ (\text{em nm}) \;=\; \dfrac{1240}{E_{\text{fóton}}\\ (\text{em eV})}.ó

Passo 3

Calcular as energias dos níveis envolvidos (usando a fórmula \,E_n = -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^2}).
  • Energia do nível inicial \,n_i=1:
E_1 = -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{1^2} = -13{,}6\\ \text{eV}.
  • Energia do nível final \,n_f=5:
E_5 = -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{5^2} = -\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{25} = -0{,}544\\ \text{eV}.
(Explicação do cálculo: dividir 13{,}6 por 25 0{,}544.)

Passo 4

Calcular a energia do fóton absorvido como diferença E_{5}-E_{1}.
E_{\text{fóton}} = E_5 - E_1 = -0{,}544\\ \text{eV} - (-13{,}6\\ \text{eV}) = 13{,}6 - 0{,}544\\ \text{eV}.ó
E_{\text{fóton}} = 13{,}056\\ \text{eV}.ó
(Interpretação: o fóton precisa fornecer exatamente essa diferença positiva de energia para que o elétron suba de n=1 para n=5.)

Passo 5

Converter a energia do fóton em comprimento de onda usando a forma prática.
  • Usando \lambda\\ (\text{nm}) = \dfrac{1240}{E_{\text{fóton}}\\ (\text{eV})}ó, substitui-se E_{\text{fóton}} = 13{,}056\\ \text{eV}ó:
\lambda = \dfrac{1240}{13{,}056}\\ \text{nm}.
  • Calculemos a divisão:
\lambda \approx 94{,}95\\ \text{nm}.
(Se alguém preferir fazer em unidades SI: primeiro converter 13{,}056\\ \text{eV} para joules com 1\\ \text{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}, e depois usar \lambda = \dfrac{h c}{E}; o resultado é o mesmo, \lambda\approx9{,}495\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.)

Passo 6

Interpretação final rápida e encorajamento.
  • O comprimento de onda encontrado, \lambda\approx94{,}95\\ \text{nm}, está na região ultravioleta do espectro (UV de maior energia).
  • Bom trabalho: a sequência de pensamento para questões assim é sempre a mesma — calcular energias dos níveis, achar a diferença e usar \lambda = hc/E. Vai dar certo na prova!

Resposta

94{,}95\\ \mathrm{nm}
9{,}495\times10^{-8}\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados