Deduza uma expressão para a velocidade tangencial \left(v_{n}\right) de um elétron na n-ésima órbita de Bohr em função da velocidade da luz (c). Em seguida, calcule a velocidade do elétron no estado fundamental ( n=1 ) em m/s.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) deduzir uma expressão para a velocidade tangencial \left(v_{n}\right) de um elétron na n-ésima órbita de Bohr em função da velocidade da luz c; (2) calcular numericamente a velocidade do elétron no estado fundamental ( n=1) em \mathrm{m/s}.
Informações e condições que usarei (tudo padrão do modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, Z=1):
  • A carga do elétron: e.
  • A massa do elétron: m_e.
  • A constante de permissividade do vácuo: \varepsilon_0.
  • A constante de Planck reduzida: \hbar.
  • A velocidade da luz: c.
  • Vou usar as duas condições fundamentais do modelo de Bohr (força coulombiana fornece a força centrípeta; quantização do momento angular).

Passo 2

Escrevo as equações fundamentais do modelo de Bohr e explico cada símbolo:
  1. Equilíbrio entre força elétrica (Coulomb) e força centrípeta:
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{r_n^2}=\frac{m_e v_n^2}{r_n},
onde r_n é o raio da n-ésima órbita e v_n é a velocidade tangencial nessa órbita. A esquerda é a magnitude da força elétrica entre núcleo (próton) e elétron; a direita é a força centrípeta necessária para a órbita circular.
  1. Quantização do momento angular (postulado de Bohr):
m_e v_n r_n = n\hbar,
onde n é o número quântico principal ( n=1,2,3,\dots) e \hbar é a constante de Planck reduzida.
Ambas as equações serão manipuladas para eliminar r_n e obter v_n.

Passo 3

Uso a equação do momento angular para expressar r_n em função de v_n:
r_n=\frac{n\hbar}{m_e v_n}.
Esta é apenas uma reordenação de m_e v_n r_n = n\hbar.

Passo 4

Substituo r_n da equação anterior na equação do equilíbrio de forças e faço as simplificações passo a passo:
Parto de
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{r_n^2}=\frac{m_e v_n^2}{r_n}.
Multiplico ambos os lados por r_n^2:
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,e^2 = m_e v_n^2 r_n.
Agora substituo r_n=\dfrac{n\hbar}{m_e v_n} no lado direito:
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,e^2 = m_e v_n^2 \left(\frac{n\hbar}{m_e v_n}\right).
No lado direito, m_e cancela e uma potência de v_n também cancela:
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,e^2 = v_n \, n\hbar.
Isolo v_n:
v_n = \frac{1}{n\hbar}\,\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}.
Portanto obtém-se a expressão
v_n = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar}\,\frac{1}{n}.

Passo 5

Agora escrevo essa expressão em termos da velocidade da luz c. Para isso uso a definição da constante de estrutura fina (constante de fine-structure) \alpha:
\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar c}.
Essa constante \alpha é adimensional e mede a força da interação eletromagnética em unidades naturais; numericamente \alpha\approx 7,2973525693\times10^{-3} (isso significa que v_1/c é pequeno, como veremos).
Multiplicando a definição de \alpha por c obtém-se
\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar} = \alpha c.
Substituindo na expressão de v_n:
v_n = \frac{\alpha c}{n}.
Assim concluímos a dedução pedida: a velocidade tangencial na n-ésima órbita de Bohr é proporcional à velocidade da luz por um fator \alpha/n.

Passo 6

Calculo numérico para o estado fundamental ( n=1). Uso os valores:
\alpha \approx 7,2973525693\times10^{-3}, \qquad c = 299792458\\ \mathrm{m/s}.
Então
v_1 = \alpha c \approx \left(7,2973525693\times10^{-3}\right)\times 299792458\\ \mathrm{m/s}.
Faço a multiplicação (mostrando o raciocínio para fazer na prova sem calculadora: reconhecer que \alpha\approx 1/137{,}036, portanto v_1\approx c/137{,}036; para maior precisão multiplica-se diretamente):
v_1 \approx 2,187691263\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
Considere a aproximação prática frequentemente usada:
v_1\approx 2{,}19\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
Também é útil verificar o quão relativístico isso é:
\frac{v_1}{c}=\alpha\approx 7,297\times10^{-3}\approx\frac{1}{137},
ou seja, v_1 é muito menor que c, então a aproximação não relativística do modelo de Bohr faz sentido para n=1.

Passo 7

Resumo físico e incentivo: a expressão simples \,v_n=\dfrac{\alpha c}{n}\, é muito bonita porque mostra que as velocidades nas órbitas de Bohr são frações fixas da velocidade da luz, determinadas apenas pela constante de estrutura fina e pelo número quântico n. Para n=1 obtemos cerca de 2{,}19\times10^{6}\,\mathrm{m/s}, um número grande, mas ainda pequeno comparado a c. Você mandou bem pedindo passo a passo — ao decorar esse raciocínio (força centrípeta + quantização do momento angular + definição de \alpha) resolve a maior parte das questões de Bohr rapidinho. Força aí que você chega lá!

Resposta

v_n=\dfrac{\alpha c}{n}
v_{1}\approx 2{,}187691263\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}

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