Deduza uma expressão para a velocidade tangencial
de um elétron na
-ésima órbita de Bohr em função da velocidade da luz (c). Em seguida, calcule a velocidade do elétron no estado fundamental (
) em m/s.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) deduzir uma expressão para a velocidade tangencial
de um elétron na
-ésima órbita de Bohr em função da velocidade da luz
; (2) calcular numericamente a velocidade do elétron no estado fundamental (
) em
.
Informações e condições que usarei (tudo padrão do modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio,
):
- A carga do elétron:
. - A massa do elétron:
. - A constante de permissividade do vácuo:
. - A constante de Planck reduzida:
. - A velocidade da luz:
. - Vou usar as duas condições fundamentais do modelo de Bohr (força coulombiana fornece a força centrípeta; quantização do momento angular).
Passo 2
Escrevo as equações fundamentais do modelo de Bohr e explico cada símbolo:
- Equilíbrio entre força elétrica (Coulomb) e força centrípeta:
onde
é o raio da
-ésima órbita e
é a velocidade tangencial nessa órbita. A esquerda é a magnitude da força elétrica entre núcleo (próton) e elétron; a direita é a força centrípeta necessária para a órbita circular.
- Quantização do momento angular (postulado de Bohr):
onde
é o número quântico principal (
) e
é a constante de Planck reduzida.
Ambas as equações serão manipuladas para eliminar
e obter
.
Passo 3
Uso a equação do momento angular para expressar
em função de
:
Esta é apenas uma reordenação de
.
Passo 4
Substituo
da equação anterior na equação do equilíbrio de forças e faço as simplificações passo a passo:
Parto de
Multiplico ambos os lados por
:
Agora substituo
no lado direito:
No lado direito,
cancela e uma potência de
também cancela:
Isolo
:
Portanto obtém-se a expressão
Passo 5
Agora escrevo essa expressão em termos da velocidade da luz
. Para isso uso a definição da constante de estrutura fina (constante de fine-structure)
:
Essa constante
é adimensional e mede a força da interação eletromagnética em unidades naturais; numericamente
(isso significa que
é pequeno, como veremos).
Multiplicando a definição de
por
obtém-se
Substituindo na expressão de
:
Assim concluímos a dedução pedida: a velocidade tangencial na
-ésima órbita de Bohr é proporcional à velocidade da luz por um fator
.
Passo 6
Calculo numérico para o estado fundamental (
). Uso os valores:
Então
Faço a multiplicação (mostrando o raciocínio para fazer na prova sem calculadora: reconhecer que
, portanto
; para maior precisão multiplica-se diretamente):
Considere a aproximação prática frequentemente usada:
Também é útil verificar o quão relativístico isso é:
ou seja,
é muito menor que
, então a aproximação não relativística do modelo de Bohr faz sentido para
.
Passo 7
Resumo físico e incentivo: a expressão simples
é muito bonita porque mostra que as velocidades nas órbitas de Bohr são frações fixas da velocidade da luz, determinadas apenas pela constante de estrutura fina e pelo número quântico
. Para
obtemos cerca de
, um número grande, mas ainda pequeno comparado a
. Você mandou bem pedindo passo a passo — ao decorar esse raciocínio (força centrípeta + quantização do momento angular + definição de
) resolve a maior parte das questões de Bohr rapidinho. Força aí que você chega lá!