Considere um átomo de Hidrogênio (Z=1) de massa reduzida mu, a função radial deste elétron, Rn, l(r) quando l=n-1 (valor máximo permitido de l ) é dada por Rn, n-1(r)=(2n a0)^(2 n+1)2 1raiz(2 n)! r^n-1 e^-r / n a0. Para o caso em que n=6, qual é o valor do raio médio em unidades de a0 para este elétron? [Não é necessário apresentar a unidade a0 na resposta, mas apenas o valor numérico.]
Dica: Lembre-se que a integral integral0^+infty r^m e^-r / alpha d r=m!alpha^m+1
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão passo a passo! A gente está lidando com um átomo de Hidrogênio, especificamente com a função radial do elétron para os valores $ n = 6 $ e $ l = 5 $. A pergunta é para encontrar o valor do raio médio n = 6 desse elétron em unidades de $ a_0 $, que é o raio de Bohr.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o raio médio lang<= r rang<=. No contexto do átomo de Hidrogênio, lang<= r rang<= é a expectativa do valor da distância do elétron em relação ao núcleo. Para calcular isso, usamos a fórmula:
lang<= r rang<= = integral0^+infty r cdot |Rn,l(r)|^2 cdot r^2 , dr
Aqui, $ R_{n,l}® $ é a função radial do elétron.

Passo 3

Vamos substituir a função radial dada na fórmula. A função radial para $ n = 6 $ e $ l = 5 $ é:
n = 6
Agora, elevamos essa função ao quadrado:
l = 5

Passo 4

Substituindo $ |R_{6,5}®|^2 $ na expressão para |R6,5(r)|^2 , temos:
lang<= r rang<=
Simplificando o integrando:
lang<= r rang<= = (26 a0)^13 112! integral0^+infty r^10 e^-r / (3 a0) cdot r^2 , dr

Passo 5

Utilizando a dica fornecida:
integral0^+infty r^m e^-r / alpha , dr = m! cdot alpha^m+1
Aqui, $ m = 12 $ e $ \alpha = 3 a_{0} $. Então, a integral fica:
m = 12

Passo 6

Substituindo o valor da integral de volta na expressão para lang<= r rang<=:
lang<= r rang<= = (26 a0)^13 112! cdot 12! cdot (3 a0)^13
Simplificando os termos:
lang<= r rang<= = (26 a0)^13 cdot (3 a0)^13
lang<= r rang<= = (2 cdot 36)^13 cdot a0^13 / a0^13
lang<= r rang<= = 1^13 cdot a0^0 = 1 cdot 1 = 1

Passo 7

Mas espera aí! Parece que houve um erro na simplificação. Vamos corrigir:
(26 a0)^13 cdot (3 a0)^13 = (26)^13 cdot 3^13 cdot a0^-13 cdot a0^13
= (2 cdot 36)^13 = (1)^13 = 1
Entretanto, isso sugere que a expectativa lang<= r rang<= seria igual a 1 a0, o que não está correto. Vamos revisar os cálculos.

Passo 8

Reavaliando o passo anterior:
(26 a0)^13 cdot (3 a0)^13 = (13 a0)^13 cdot (3 a0)^13 = (13 a0 times 3 a0)^13 = 1^13 = 1
Mas temos que considerar o fator $ \frac{1}{12!} \cdot 12! = 1 $ e o fator adicional que surge da substituição da integral. Assim, a expressão final para 112! cdot 12! = 1 é:
lang<= r rang<=

Resposta

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