Considere um átomo de Hidrogênio (Z=1) de massa reduzida
, a função radial deste elétron,
quando
(valor máximo permitido de
) é dada por
. Para o caso em que
, qual é o valor do raio médio em unidades de
para este elétron? [Não é necessário apresentar a unidade
na resposta, mas apenas o valor numérico.]
Dica: Lembre-se que a integral
Resposta:
Dica: Lembre-se que a integral
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão passo a passo! A gente está lidando com um átomo de Hidrogênio, especificamente com a função radial do elétron para os valores $ n = 6 $ e $ l = 5 $. A pergunta é para encontrar o valor do raio médio
desse elétron em unidades de $ a_0 $, que é o raio de Bohr.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o raio médio
. No contexto do átomo de Hidrogênio,
é a expectativa do valor da distância do elétron em relação ao núcleo. Para calcular isso, usamos a fórmula:
Aqui, $ R_{n,l}® $ é a função radial do elétron.
Passo 3
Vamos substituir a função radial dada na fórmula. A função radial para $ n = 6 $ e $ l = 5 $ é:
Agora, elevamos essa função ao quadrado:
Passo 4
Substituindo $ |R_{6,5}®|^2 $ na expressão para
, temos:
Simplificando o integrando:
Passo 5
Utilizando a dica fornecida:
Aqui, $ m = 12 $ e $ \alpha = 3 a_{0} $. Então, a integral fica:
Passo 6
Substituindo o valor da integral de volta na expressão para
:
Simplificando os termos:
Passo 7
Mas espera aí! Parece que houve um erro na simplificação. Vamos corrigir:
Entretanto, isso sugere que a expectativa
seria igual a 1
, o que não está correto. Vamos revisar os cálculos.
Passo 8
Reavaliando o passo anterior:
Mas temos que considerar o fator $ \frac{1}{12!} \cdot 12! = 1 $ e o fator adicional que surge da substituição da integral. Assim, a expressão final para
é:
Resposta
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