O estado quântico de um elétron ligado ao átomo de Hidrogênio pode ser descrito pela função de onda
, onde
e
são os números quânticos e
e
são as variáveis espaciais em coordenadas esféricas. A energia de um de um estado quântico é dada por
. Quantos estados quânticos de ocupação existem para
levando em conta todas as possibilidades permitidas para os quatro números quânticos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir quantos estados quânticos um elétron pode ocupar quando o número quântico principal é
no átomo de Hidrogênio. Isso envolve entender como os quatro números quânticos (
,
,
,
) ajudam a definir cada estado possível. Vamos precisar usar as regras que relacionam esses números para contar todas as combinações possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que cada número quântico representa:
-
(número quântico principal): Define o nível de energia do elétron e pode ser qualquer número inteiro positivo ( ). No nosso caso, . -
(número quântico azimutal): Relaciona-se ao momento angular do elétron e pode variar de a . Então, para , vai de a . -
(número quântico magnético): Está ligado à orientação do momento angular e pode assumir valores inteiros de a . -
(número quântico de spin): Representa o spin do elétron e pode ser ou .
Passo 3
Vamos contar as possibilidades para cada número quântico:
-
Para
: -
pode ser (total de valores).
-
-
Para cada valor de
, pode variar de a : - Isso dá
possíveis valores de para cada .
- Isso dá
-
Para cada combinação de
, e , pode ser ou : - Isso significa
possibilidades para .
- Isso significa
Passo 4
Agora, vamos calcular o total de estados quânticos:
- Para cada
, há valores de . - Então, para todos os valores de
, somamos de a .
A soma fica assim:
Vamos calcular essa soma:
Sabemos que a soma dos primeiros
números inteiros é:
Aplicando para
:
Portanto:
Então, existem
combinações de
,
e
.
Passo 5
Finalmente, consideramos o spin
. Para cada uma das
combinações que encontramos, o elétron pode ter dois possíveis spins:
Resposta
Existem 288 estados quânticos de ocupação para
no átomo de Hidrogênio considerando todas as combinações permitidas dos números quânticos.