O estado quântico de um elétron ligado ao átomo de Hidrogênio pode ser descrito pela função de onda Psin, l, ml, ms(r, theta, phi), onde n, l, ml e ms são os números quânticos e r, theta e phi são as variáveis espaciais em coordenadas esféricas. A energia de um de um estado quântico é dada por En=-k e^22 a0 1n^2. Quantos estados quânticos de ocupação existem para n=12 levando em conta todas as possibilidades permitidas para os quatro números quânticos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir quantos estados quânticos um elétron pode ocupar quando o número quântico principal é n=12 no átomo de Hidrogênio. Isso envolve entender como os quatro números quânticos ( n, l, ml, ms) ajudam a definir cada estado possível. Vamos precisar usar as regras que relacionam esses números para contar todas as combinações possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que cada número quântico representa:
  • n (número quântico principal): Define o nível de energia do elétron e pode ser qualquer número inteiro positivo ( n=1, 2, 3, dots). No nosso caso, n=12.
  • l (número quântico azimutal): Relaciona-se ao momento angular do elétron e pode variar de 0 a n-1. Então, para n=12, l vai de 0 a 11.
  • ml (número quântico magnético): Está ligado à orientação do momento angular e pode assumir valores inteiros de -l a +l.
  • ms (número quântico de spin): Representa o spin do elétron e pode ser +12 ou -12.

Passo 3

Vamos contar as possibilidades para cada número quântico:
  1. Para l:
    • l pode ser 0, 1, 2, dots, 11 (total de 12 valores).
  2. Para cada valor de l, ml pode variar de -l a +l:
    • Isso dá 2l + 1 possíveis valores de ml para cada l.
  3. Para cada combinação de n, l e ml, ms pode ser +12 ou -12:
    • Isso significa 2 possibilidades para ms.

Passo 4

Agora, vamos calcular o total de estados quânticos:
  • Para cada l, há 2l + 1 valores de ml.
  • Então, para todos os valores de l, somamos 2l + 1 de l=0 a l=11.
A soma fica assim:
suml=0^11 (2l + 1)
Vamos calcular essa soma:
suml=0^11 2l + suml=0^11 1 = 2 suml=0^11 l + 12
Sabemos que a soma dos primeiros n números inteiros é:
suml=0^n l = n(n+1)2
Aplicando para n=11:
suml=0^11 l = 11 times 122 = 66
Portanto:
2 times 66 + 12 = 132 + 12 = 144
Então, existem 144 combinações de n, l e ml.

Passo 5

Finalmente, consideramos o spin ms. Para cada uma das 144 combinações que encontramos, o elétron pode ter dois possíveis spins:
144 times 2 = 288

Resposta

Existem 288 estados quânticos de ocupação para n=12 no átomo de Hidrogênio considerando todas as combinações permitidas dos números quânticos.

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