Considere o átomo de hidrogênio, no modelo de Rutherford. Admitindo que o elétron está em órbita circular, mostre que o momento magnético associado ao movimento orbital é \vec{m}=\left(e / 2 m_{e}\right) \vec{L}, no qual \vec{L} é o momento angular orbital do elétron, e a sua carga e m_{e} a sua massa (Na verdade o momento magnético do átomo é mais complexo, pois, além de ser quantizado, há ainda o momento magnético intrínseco do elétron, associado ao spin, bem como o momento magnético no núcleo).

Passo 1

O enunciado trata do átomo de hidrogênio no modelo clássico de Rutherford, em que o elétron de carga -e descreve uma órbita circular de raio r em torno do próton. Queremos relacionar o momento magnético orbital \vec{m} desse movimento ao momento angular orbital \vec{L}. Para isso, usaremos:
  1. a expressão do momento magnético de um laço de corrente, \vec{m}=I\,\vec{A}, onde I é a corrente e \vec{A} é o vetor área do laço;
  2. a definição do momento angular de partícula em órbita circular, \vec{L}=m_{e}\,\vec{r}\times\vec{v}.

Passo 2

Calculemos a corrente I associada ao elétron que completa uma volta em um período T. Como a carga do elétron é q=-e, a corrente (em módulo e sinal) é
I = \frac{q}{T} = \frac{-e}{T}.

Passo 3

O vetor área do laço é perpendicular ao plano da órbita e seu módulo é
A = \pi r^{2}.
Tomando a orientação de \vec{A} dada pela regra da mão direita em relação ao sentido da corrente, temos \vec{A}=A\,\hat{n}, onde \hat{n} é normal à órbita.

Passo 4

O momento magnético (vetorial) do laço vale
\vec{m} \;=\; I\,\vec{A} \;=\;\frac{-e}{T}\;(\pi r^{2}\,\hat{n}).

Passo 5

O período T relaciona-se à velocidade orbital v por T=2\pi r/v. Logo,
\frac{1}{T} = \frac{v}{2\pi r} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi r^{2}}{T} = \frac{\pi r^{2}\,v}{2\pi r} = \frac{r\,v}{2}.
Substituindo em \vec{m}, obtemos
\vec{m} = -e\,\frac{r\,v}{2}\,\hat{n}.

Passo 6

Relembremos o momento angular orbital do elétron em órbita circular: o módulo é
L = m_{e}\,r\,v,
e a direção de \vec{L} também é \hat{n} (pela regra da mão direita tomando \vec{r}\times\vec{v}).

Passo 7

Agora expressamos \vec{m} em função de \vec{L}. Como ambos têm direção \hat{n}, basta comparar os módulos:
|\vec{m}| = e\,\frac{r\,v}{2} \quad\text{e}\quad |\vec{L}| = m_{e}\,r\,v \;\Longrightarrow\; |\vec{m}| = \frac{e}{2\,m_{e}}\,|\vec{L}|.

Passo 8

Como os vetores têm a mesma direção \hat{n} (mas o sinal do elétron inverte a orientação do laço), sensivelmente ficamos com a relação vetorial
\vec{m} = \frac{e}{2\,m_{e}}\,\vec{L}.

Resposta

\displaystyle \vec{m} = \frac{e}{2\,m_{e}}\,\vec{L}.

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