Considere o átomo de hidrogênio, no modelo de Rutherford. Admitindo que o elétron está em órbita circular, mostre que o momento magnético associado ao movimento orbital é
, no qual
é o momento angular orbital do elétron,
a sua carga e
a sua massa (Na verdade o momento magnético do átomo é mais complexo, pois, além de ser quantizado, há ainda o momento magnético intrínseco do elétron, associado ao spin, bem como o momento magnético no núcleo).
Passo 1
O enunciado trata do átomo de hidrogênio no modelo clássico de Rutherford, em que o elétron de carga
descreve uma órbita circular de raio
em torno do próton. Queremos relacionar o momento magnético orbital
desse movimento ao momento angular orbital
. Para isso, usaremos:
- a expressão do momento magnético de um laço de corrente,
, onde é a corrente e é o vetor área do laço; - a definição do momento angular de partícula em órbita circular,
.
Passo 2
Calculemos a corrente
associada ao elétron que completa uma volta em um período
. Como a carga do elétron é
, a corrente (em módulo e sinal) é
Passo 3
O vetor área do laço é perpendicular ao plano da órbita e seu módulo é
Tomando a orientação de
dada pela regra da mão direita em relação ao sentido da corrente, temos
, onde
é normal à órbita.
Passo 4
O momento magnético (vetorial) do laço vale
Passo 5
O período
relaciona-se à velocidade orbital
por
. Logo,
Substituindo em
, obtemos
Passo 6
Relembremos o momento angular orbital do elétron em órbita circular: o módulo é
e a direção de
também é
(pela regra da mão direita tomando
).
Passo 7
Agora expressamos
em função de
. Como ambos têm direção
, basta comparar os módulos:
Passo 8
Como os vetores têm a mesma direção
(mas o sinal do elétron inverte a orientação do laço), sensivelmente ficamos com a relação vetorial