Usando a definição de produto vetorial, justifique que os vetores de base canônicos ( \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} ) satisfazem as relações: \hat{x} \times \hat{y}=-\hat{y} \times \hat{x}=\hat{z}, \quad \hat{y} \times \hat{z}=-\hat{z} \times \hat{y}=\hat{x}, \quad \hat{z} \times \hat{x}=-\hat{x} \times \hat{z}=\hat{y}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição de produto vetorial, que os vetores de base canônicos \hat{x},\hat{y},\hat{z} satisfazem
\hat{x}\times\hat{y}=-\hat{y}\times\hat{x}=\hat{z},\quad \hat{y}\times\hat{z}=-\hat{z}\times\hat{y}=\hat{x},\quad \hat{z}\times\hat{x}=-\hat{x}\times\hat{z}=\hat{y}.
O conteúdo principal é a definição em componentes do produto vetorial e a propriedade de antissimetria.

Passo 2

A definição em componentes para dois vetores \mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z) e \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z) é
\mathbf{a}\times\mathbf{b} =(a_y b_z - a_z b_y)\,\hat{x} +(a_z b_x - a_x b_z)\,\hat{y} +(a_x b_y - a_y b_x)\,\hat{z}.
Além disso, vale a propriedade de antissimetria \mathbf{a}\times\mathbf{b}=-\,\mathbf{b}\times\mathbf{a}.

Passo 3

Escrevemos os vetores de base canônicos em componentes: \hat{x}=(1,0,0),\;\hat{y}=(0,1,0),\;\hat{z}=(0,0,1).

Passo 4

Calcular \hat{x}\times\hat{y}:
pelo termo em \hat{z} temos
(\hat{x}\times\hat{y})_z =1\cdot1 - 0\cdot0 = 1,
e os outros componentes são zero. Logo
\hat{x}\times\hat{y}=(0,0,1)=\hat{z}.
Pela antissimetria segue
\hat{y}\times\hat{x}=-\,\hat{z},
e portanto \hat{x}\times\hat{y}=-\hat{y}\times\hat{x}=\hat{z}.

Passo 5

Calcular \hat{y}\times\hat{z}:
pelo termo em \hat{x} temos
(\hat{y}\times\hat{z})_x =1\cdot1 - 0\cdot0 = 1,
logo
\hat{y}\times\hat{z}=(1,0,0)=\hat{x},
e pela antissimetria \hat{z}\times\hat{y}=-\hat{x}. Assim \hat{y}\times\hat{z}=-\hat{z}\times\hat{y}=\hat{x}.

Passo 6

Calcular \hat{z}\times\hat{x}:
pelo termo em \hat{y} temos
(\hat{z}\times\hat{x})_y =1\cdot1 - 0\cdot0 = 1,
logo
\hat{z}\times\hat{x}=(0,1,0)=\hat{y},
e pela antissimetria \hat{x}\times\hat{z}=-\hat{y}. Logo \hat{z}\times\hat{x}=-\hat{x}\times\hat{z}=\hat{y}.

Resposta

\hat{x}\times\hat{y}=-\hat{y}\times\hat{x}=\hat{z},\quad \hat{y}\times\hat{z}=-\hat{z}\times\hat{y}=\hat{x},\quad \hat{z}\times\hat{x}=-\hat{x}\times\hat{z}=\hat{y}.

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