Usando a definição de produto vetorial, justifique que os vetores de base canônicos (
) satisfazem as relações:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição de produto vetorial, que os vetores de base canônicos
satisfazem
O conteúdo principal é a definição em componentes do produto vetorial e a propriedade de antissimetria.
Passo 2
A definição em componentes para dois vetores
e
é
Além disso, vale a propriedade de antissimetria
Passo 3
Escrevemos os vetores de base canônicos em componentes:
Passo 4
Calcular
:
pelo termo em temos
pelo termo em
e os outros componentes são zero. Logo
Pela antissimetria segue
e portanto
Passo 5
Calcular
:
pelo termo em temos
pelo termo em
logo
e pela antissimetria
. Assim
Passo 6
Calcular
:
pelo termo em temos
pelo termo em
logo
e pela antissimetria
. Logo