Considere um disco de raio a, de carga total Q. A carga está distribuída rigidamente e uniformemente, sobre o disco, e este gira em torno de seu eixo com velocidade angular constante \vec{\omega}=\omega_{0} \hat{z}. Calcule o momento magnético deste disco. Qual o torque que o disco sofreria se colocado em um campo \vec{B}=B_{0} \hat{x} ?

Passo 1

O enunciado trata de um disco de raio a, carga total Q distribuída uniformemente na sua superfície, girando com velocidade angular constante \vec\omega=\omega_{0}\hat z. Vamos usar o fato de que carga em movimento gera uma densidade de corrente superficial, e que o momento magnético de uma distribuição de corrente é dado por
\vec\mu = \tfrac12\int \vec r'\times \vec J(\vec r')\,dA.
Depois, para o torque em um campo \vec B, usaremos
\vec\tau = \vec\mu \times \vec B.

Passo 2

Primeiro achamos a densidade de carga superficial
\sigma = \frac{Q}{\pi a^{2}}.
Num ponto a distância r do centro, a velocidade é \vec v = \vec\omega\times \vec r com módulo v = \omega_{0}r. A densidade de corrente superficial é
\vec K = \sigma\,\vec v \quad\Longrightarrow\quad K = \sigma\,\omega_{0}r
num sentido azimutal.

Passo 3

Para calcular \mu_{z} integramos anéis de raio r e espessura dr. A carga no anel vale
dQ = \sigma\,(2\pi r\,dr),
logo a corrente nesse anel é
dI = \frac{dQ}{T} = \frac{dQ\,\omega_{0}}{2\pi} = \sigma\,\omega_{0}\,r\,dr.
O momento magnético de um anel é d\mu_{z}=dI\cdot(\text{área do anel})á, isto é
d\mu_{z} = dI\;\bigl(\pi r^{2}\bigr) = \sigma\,\omega_{0}\,r\,dr\;\pi r^{2} = \sigma\,\omega_{0}\,\pi\,r^{3}dr.
Integrando de r=0 até r=a,
\mu_{z} = \int_{0}^{a}\sigma\,\omega_{0}\,\pi\,r^{3}dr = \sigma\,\omega_{0}\,\pi\,\frac{a^{4}}{4} = \frac{Q}{\pi a^{2}}\;\omega_{0}\,\pi\,\frac{a^{4}}{4} = \frac{Q\,\omega_{0}\,a^{2}}{4}.
Portanto
\vec\mu = \frac{Q\,\omega_{0}\,a^{2}}{4}\,\hat z.

Passo 4

Colocando o disco num campo \vec B = B_{0}\hat x, o torque é
\vec\tau = \vec\mu \times \vec B = \frac{Q\,\omega_{0}\,a^{2}}{4}\,\hat z \times B_{0}\hat x = \frac{Q\,\omega_{0}\,a^{2}\,B_{0}}{4}\;\hat y.

Resposta

\displaystyle \vec\mu = \frac{Q\,\omega_{0}\,a^{2}}{4}\,\hat z,\quad \vec\tau = \frac{Q\,\omega_{0}\,a^{2}\,B_{0}}{4}\,\hat y.

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