3ª Questão (20 pontos) Alguém sobre uma prancha, que sobe e desce ao flutuar sobre algumas ondas. O deslocamento vertical da prancha y é dado por
y=(1,2 m) \cos \left(\frac{1}{2,0 s} t+\frac{\pi}{6}\right)
(a) Determine a amplitude, a frequência angular, a constante de fase, a frequência \mathrm{e} \circ período do movimento.
(b) Onde está a prancha, em t=1,0 \mathrm{~s} ?
(c) Determine a velocidade e a aceleração, como funções do tempo t.
(d) Determine os valores iniciais da posição, da velocidade e da aceleração da prancha.

Passo 1

O enunciado dá o deslocamento vertical de uma prancha em movimento harmônico simples:
y = (1,2\\ \text{m}) \cos\!\bigl(\tfrac{1}{2,0\\ \text{s}}\,t + \tfrac{\pi}{6}\bigr).
O conteúdo aqui é Movimento Harmônico Simples (MHS). Vamos identificar os parâmetros da função, calcular frequência e período, avaliar posição em t=1,0\\ \text{s}, derivar para obter velocidade e aceleração, e finalmente achar os valores iniciais.

Passo 2

Identificamos amplitude A, frequência angular \omega e constante de fase \varphi comparando com
y = A\cos(\omega t + \varphi).
Daqui
A = 1,2\\ \text{m},\quad \omega = \frac{1}{2,0\\ \text{s}} = 0,5\\ \text{s}^{-1},\quad \varphi = \frac{\pi}{6}.

Passo 3

A frequência f e o período T são dados por
f = \frac{\omega}{2\pi} \quad\text{e}\quad T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega=0,5\\ \text{s}^{-1},
f = \frac{0,5}{2\pi}\approx0,0796\\ \text{Hz}, \quad T = \frac{2\pi}{0,5} = 4\pi\\ \text{s}\approx12,57\\ \text{s}.

Passo 4

Para t=1,0\\ \text{s},
y(1,0) = 1,2\cos\!\bigl(0,5\cdot1,0 + \tfrac{\pi}{6}\bigr) = 1,2\cos(1,0236\\ \text{rad}) \approx 1,2\times0,52 \approx 0,624\\ \text{m}.

Passo 5

A velocidade \,v(t)=\dot y e a aceleração a(t)=\ddot y vêm de derivar:
v(t) = -A\,\omega\sin(\omega t + \varphi) = -1,2\cdot0,5\;\sin\!\bigl(0,5t + \tfrac{\pi}{6}\bigr) = -0,6\sin\!\bigl(0,5t + \tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \bigl[\text{m/s}\bigr],
a(t) = -A\,\omega^2\cos(\omega t + \varphi) = -1,2\cdot(0,5)^2\;\cos\!\bigl(0,5t + \tfrac{\pi}{6}\bigr) = -0,3\cos\!\bigl(0,5t + \tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \bigl[\text{m/s}^2\bigr].

Passo 6

No instante inicial t=0:
y(0) = 1,2\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = 1,2\times\frac{\sqrt3}{2} \approx1,039\\ \text{m},
v(0) = -0,6\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = -0,6\times0,5 = -0,3\\ \text{m/s},
a(0) = -0,3\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = -0,3\times\frac{\sqrt3}{2} \approx -0,260\\ \text{m/s}^2.

Resposta

(a) A=1,2\\ \text{m}, \omega=0,5\\ \text{s}^{-1}, \varphi=\tfrac{\pi}{6}, f\approx0,0796\\ \text{Hz}, T\approx12,57\\ \text{s}.
(b) y(1,0)\approx0,624\\ \text{m}.
(c) v(t)=-0,6\sin\!\bigl(0,5t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \text{m/s}, \displaystyle a(t)=-0,3\cos\!\bigl(0,5t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \text{m/s}^2.
(d) y(0)\approx1,039\\ \text{m}, v(0)=-0,3\\ \text{m/s}, a(0)\approx-0,260\\ \text{m/s}^2.

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