Considere um átomo de hidrogênio no vácuo, isolado, sem qualquer interação com outros átomos. Associada a esse átomo, existe uma energia mínima necessária para remover um elétron, na fase gasosa, conhecida como energia de ionização. Especificamente, trata-se aqui de uma transição de um elétron a partir do nível de energia \mathrm{n}=1 até a separação “infinita” do núcleo, ou seja, um afastamento muito grande, que não provoca nenhuma interação entre o átomo e o elétron ( \mathrm{n}=\infty ). Com base nessas informações, pede-se:
a) Qual é a energia mínima que um fóton deve ter para que esse processo de ionização aconteça?
b) Qual o comprimento de onda dessa radiação?
c) Em qual região da radiação eletromagnética encontra-se esse fóton?

Passo 1

O enunciado pede a energia mínima de um fóton que ionize um átomo de hidrogênio partindo do nível \mathrm{n}=1 até a separação ao infinito ( \mathrm{n}=\infty), o comprimento de onda correspondente a esse fóton e em que região do espectro eletromagnético esse fóton se encontra. Informações relevantes fornecidas (implícitas no enunciado):
  • O elétron parte do estado fundamental \mathrm{n}=1.
  • O estado final é \mathrm{n}=\infty (elétron livre, energia tomada como zero).
  • Trata-se do átomo de hidrogênio isolado (modelo de Bohr/níveis de energia bem definido).
    Não há outras grandezas numéricas fornecidas no enunciado; usarei valores físicos padrões para as constantes quando necessário.

Passo 2

Entendendo a física por trás (aula rápida e bem prática)
  • No modelo de Bohr (ou equivalentes quânticos), os níveis de energia ligada do elétron no átomo de hidrogênio são dados por
E_n = -\frac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{n^2},
onde E_n é a energia do nível com número quântico n e o sinal negativo indica que o elétron está ligado ao núcleo. Aqui:
  • n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots).
  • O valor numérico 13{,}6\\ \mathrm{eV} é a energia absoluta do nível \mathrm{n}=1 (energia de ligação do estado fundamental).
  • Para o elétron livre (separação ao infinito) toma-se E_{\infty}=0.
  • A energia mínima do fóton que causa a ionização é a diferença entre E_{\infty} e E_1:
\Delta E = E_{\infty}-E_1.
Explicando com calma: o fóton deve fornecer exatamente a energia necessária para tirar o elétron do poço de potencial; isso é a diferença entre o nível ligado e o nível livre.

Passo 3

Cálculo da energia mínima em elétron-volts
Aplicando a fórmula com n=1:
E_1 = -\frac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{1^2} = -13{,}6\\ \mathrm{eV}.
Logo
\Delta E = E_{\infty}-E_1 = 0 - (-13{,}6\\ \mathrm{eV}) = 13{,}6\\ \mathrm{eV}.
Comentário didático: é comum ver o valor mais preciso 13{,}5984\\ \mathrm{eV}; para cálculos rápidos pode-se usar 13{,}6\\ \mathrm{eV}. Ambos indicam a mesma ordem de grandeza.

Passo 4

Converter a energia para joules (unidade SI) — explicando a conversão
  • Um elétron-volt é a energia ganha por um elétron ao atravessar uma diferença de potencial de 1\\ \mathrm{V}. Em unidades do SI:
1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Multiplicando:
\Delta E = 13{,}6\\ \mathrm{eV}\times\left(1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}\right) \approx 2{,}18\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Observação prática: se usar o valor mais preciso 13{,}5984\\ \mathrm{eV} obtém-se \Delta E\approx2{,}179\times10^{-18}\\ \mathrm{J}. Para provas geralmente \,2{,}18\times10^{-18}\\ \mathrm{J}\, é aceito.

Passo 5

Cálculo do comprimento de onda correspondente (ligando energia e comprimento de onda)
  • A relação entre energia de um fóton e seu comprimento de onda é
E = \frac{hc}{\lambda},
onde:
  • E é a energia do fóton (em joules),
  • h é a constante de Planck, h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s},
  • c é a velocidade da luz no vácuo, c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
  • \lambda é o comprimento de onda em metros.
  • Isolando \lambda:
\lambda = \frac{hc}{E}.
  • Podemos usar o produto conhecido hc\approx1{,}98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\,m}. Substituindo E\approx2{,}18\times10^{-18}\\ \mathrm{J}:
\lambda \approx \frac{1{,}98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\,m}}{2{,}18\times10^{-18}\\ \mathrm{J}} \approx 9{,}12\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}):
\lambda \approx 91{,}2\\ \mathrm{nm}.
Comentário prático: usando E=13{,}5984\\ \mathrm{eV} e a relação prática \lambda(\mathrm{nm})\simeq\frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{E(\mathrm{eV})} \lambda\approx91{,}175\\ \mathrm{nm}. Então o valor arredondado \,91{,}2\\ \mathrm{nm}\, é o padrão e corresponde ao chamado limite de Lyman.

Passo 6

Classificação no espectro eletromagnético
  • O comprimento de onda encontrado \lambda\approx91{,}2\\ \mathrm{nm} situa o fóton na região ultravioleta do espectro. Mais especificamente:
    • É ultravioleta de ondas curtas, também chamado de ultravioletas extremo ou “vacuum ultraviolet” (VUV), porque comprimentos de onda dessa ordem são fortemente absorvidos pelo ar e normalmente só existem em vácuo experimentalmente.
    • É o limite de série de Lyman (transições que terminam em \mathrm{n}=1), então é comumente referida como a radiação limite de Lyman, no ultravioleta profundo.

Resposta

a) \Delta E = 13{,}6\\ \mathrm{eV} \approx 2{,}18\times10^{-18}\\ \mathrm{J}\n
b) \lambda \approx 91{,}2\\ \mathrm{nm}\n
c) Região: ultravioleta (especificamente ultravioleta extremo / vacuum ultraviolet, limite de Lyman)

Exercícios relacionados