Considere um avião em vôo horizontal, a uma altura h em relação ao solo, com velocidade constante v, afastando-se de um observador que se encontra em terra firme. Seja mu a elevação angular do avião, em relação ao solo, a partir do observador. Determine, como função de mu, a taxa de variação de mu em relação ao tempo.
(R: d mud t=-vh sen(mu))

Passo 1

O enunciado diz que um avião voa horizontalmente a uma altura constante h, afastando-se de um observador em terra com velocidade constante v. O ângulo de elevação é mu medido entre a linha horizontal (solo) e a reta de visada ao avião. Precisamos achar dmu/dt em função de mu.

Passo 2

Para relacionar mu com a posição do avião, seja x(t) a distância horizontal do observador até a projeção do avião no solo. Da trigonometria do triângulo retângulo temos:
$$
\tan(\mu)=\frac{oposto}{adjacente}=\frac{h}{x}$$

Passo 3

Diferenciando implicitamente ambos os lados em relação ao tempo t:
ddtl(tanmur)=ddtl(hxr)
Pelo lado esquerdo usamos d(tanmu)/dt=sec^2mu,dmu/dt. Pelo direito, h é constante e d(1/x)/dt=-x^-2dx/dt. Então:
sec^2mu,dmudt=-hx^2,dxdt

Passo 4

Como o avião se afasta, dx/dt=v. Isolando dmu/dt e lembrando que cos^2mu=1/sec^2mu:
dmudt=-hx^2,vcdot1sec^2mu=-hx^2,vcos^2mu

Passo 5

Para expressar tudo em termos de mu, note que
cos^2mu=x^2x^2+h^2e x^2+h^2=l(hsinmur)^2
Então
hx^2cos^2mu=hx^2+h^2=hh^2/sin^2mu=sin^2muh
Logo substituindo:
dmudt=-vcdotsin^2muh=-vh,sin^2(mu)

Resposta

dmudt=-vh,sin^2(mu)

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