Esboce a imagem das curvas abaixo, representando o sentido de percurso.
gamma(t)=(1+cos t, 1+sen t, 2 t), t in[0,2 pi]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçar a imagem da curva definida por gamma(t) = (1+cos t, 1+sin t, 2t), para t entre 0 e 2pi. Estamos trabalhando com Curvas Parametrizadas, um tópico de Cálculo Multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente da função gamma(t) se comporta e como elas se combinam para formar a curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os componentes da função gamma(t):
  • Componente x: x(t) = 1 + cos t
  • Componente y: y(t) = 1 + sin t
  • Componente z: z(t) = 2t
Vemos que as duas primeiras coordenadas, x(t) e y(t), estão relacionadas a funções trigonométricas, enquanto z(t) é uma função linear de t.

Passo 3

Vamos analisar o que isso significa graficamente:
  • As funções x(t) = 1 + cos t e y(t) = 1 + sin t descrevem um círculo no plano xy com raio 1 e centro no ponto (1,1). Isso porque cos^2 t + sin^2 t = 1, então (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1.
  • A função z(t) = 2t aumenta linearmente conforme t aumenta. À medida que t varia de 0 a 2pi, z(t) varia de 0 a 4pi.

Passo 4

Combinando essas informações, percebemos que a curva gamma(t) desenha uma hélice em torno do círculo no plano xy. Basicamente, enquanto a curva gira em torno do círculo, ela também sobe de forma linear ao longo do eixo z.

Passo 5

Para representar o sentido de percurso:
  • Quando t = 0, temos gamma(0) = (1 + 1, 1 + 0, 0) = (2,1,0).
  • Conforme t aumenta, o ponto se move no sentido anti-horário ao redor do círculo no plano xy e, simultaneamente, sobe ao longo do eixo z.
  • Quando t = 2pi, a curva completa uma volta completa ao redor do círculo e atinge o ponto gamma(2pi) = (1 + 1, 1 + 0, 4pi) = (2,1,4pi).

Passo 6

Então, o esboço da curva será uma hélice que dá uma volta completa ao redor do círculo de raio 1 centrado em (1,1) no plano xy, enquanto sobe do z=0 até z=4 pi. O sentido de percurso é anti-horário quando visto de cima (positiva rotação) e a hélice sobe à medida que t aumenta.

Resposta

A curva gamma(t) = (1+cos t, 1+sin t, 2t) para t in [0, 2pi] é uma hélice que gira no sentido anti-horário ao redor de um círculo de raio 1 centrado em (1,1) no plano xy, enquanto se eleva linearmente ao longo do eixo z de 0 até 4pi. O sentido de percurso segue a rotação anti-horária ascendendo conforme t aumenta.

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