Esboce a imagem das curvas abaixo, representando o sentido de percurso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçar a imagem da curva definida por
, para
entre
e
. Estamos trabalhando com Curvas Parametrizadas, um tópico de Cálculo Multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente da função
se comporta e como elas se combinam para formar a curva no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os componentes da função
:
- Componente x:
- Componente y:
- Componente z:
Vemos que as duas primeiras coordenadas,
e
, estão relacionadas a funções trigonométricas, enquanto
é uma função linear de
.
Passo 3
Vamos analisar o que isso significa graficamente:
-
As funções
e descrevem um círculo no plano xy com raio 1 e centro no ponto (1,1). Isso porque , então . -
A função
aumenta linearmente conforme aumenta. À medida que varia de a , varia de a .
Passo 4
Combinando essas informações, percebemos que a curva
desenha uma hélice em torno do círculo no plano xy. Basicamente, enquanto a curva gira em torno do círculo, ela também sobe de forma linear ao longo do eixo z.
Passo 5
Para representar o sentido de percurso:
- Quando
, temos . - Conforme
aumenta, o ponto se move no sentido anti-horário ao redor do círculo no plano xy e, simultaneamente, sobe ao longo do eixo z. - Quando
, a curva completa uma volta completa ao redor do círculo e atinge o ponto .
Passo 6
Então, o esboço da curva será uma hélice que dá uma volta completa ao redor do círculo de raio 1 centrado em (1,1) no plano xy, enquanto sobe do z=0 até z=4
. O sentido de percurso é anti-horário quando visto de cima (positiva rotação) e a hélice sobe à medida que
aumenta.
Resposta
A curva
para
é uma hélice que gira no sentido anti-horário ao redor de um círculo de raio 1 centrado em (1,1) no plano xy, enquanto se eleva linearmente ao longo do eixo z de 0 até
. O sentido de percurso segue a rotação anti-horária ascendendo conforme
aumenta.