Uma escada de
de comprimento está recostada em uma parede. A base da escada escorrega, afastando-se da parede a uma taxa (velocidade) de
. Com que velocidade cai o topo da escada, no momento em que a base da escada está a
da parede?
(
.
(
Passo 1
O enunciado diz que temos uma escada fixa de 5 m encostada numa parede. A base desliza para longe da parede com velocidade constante de 2 cm/s. Queremos saber com que velocidade o topo desce quando a base está a 3 m da parede. O conteúdo aqui é taxa de variação relacionada (related rates) usando o teorema de Pitágoras.
Passo 2
A relação pitagórica entre a distância da base até a parede (x), a altura do topo na parede (y) e o comprimento constante da escada (5 m) é dada por:
Diferenciando implicitamente em relação ao tempo t, obtemos:
que simplifica para
Passo 3
No instante considerado, a base está a x = 3 m. Calculamos y usando Pitágoras:
Passo 4
Substituímos x = 3 m, y = 4 m e
(atenção às unidades: dx/dt está em cm/s, mas x e y em m – podemos manter a proporção porque só precisamos da razão x/y):
Resposta
(-1,5 cm/s)