Uma escada de 5 m de comprimento está recostada em uma parede. A base da escada escorrega, afastando-se da parede a uma taxa (velocidade) de 2 cm / s. Com que velocidade cai o topo da escada, no momento em que a base da escada está a 3 m da parede?
( R: 1,5 cm / s.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma escada fixa de 5 m encostada numa parede. A base desliza para longe da parede com velocidade constante de 2 cm/s. Queremos saber com que velocidade o topo desce quando a base está a 3 m da parede. O conteúdo aqui é taxa de variação relacionada (related rates) usando o teorema de Pitágoras.

Passo 2

A relação pitagórica entre a distância da base até a parede (x), a altura do topo na parede (y) e o comprimento constante da escada (5 m) é dada por:
x^2 + y^2 = 5^2
Diferenciando implicitamente em relação ao tempo t, obtemos:
2xdxdt + 2ydydt = 0
que simplifica para
xdxdt + ydydt = 0

Passo 3

No instante considerado, a base está a x = 3 m. Calculamos y usando Pitágoras:
y = raiz5^2 - 3^2 = 4 m

Passo 4

Substituímos x = 3 m, y = 4 m e dxdt = 2 cm/s (atenção às unidades: dx/dt está em cm/s, mas x e y em m – podemos manter a proporção porque só precisamos da razão x/y):
dydt = -xydxdt = -34cdot 2 cm/s = -1,5 cm/s

Resposta

(-1,5 cm/s)

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