Considere os axiomas e propriedades de probabilidade dadas de a) ad) a seguir:
a) P[\emptyset]=0;
b) \sum_{i=1}^{n} P\left[A_{i}\right]=1, para A_{1}, \cdots, A_{n} uma partição do espaço amostral \Omega;
c) P[A] \geq 0; para A, um evento aleatório associado ao espaço amostral;
d) P[A] \leq 1; para A, um evento aleatório associado ao espaço amostral.
Considere as afirmações acerca de probabilidades abaixo. Em cada uma delas um axioma ou propriedade de probabilidade apresentados acima (letras \mathbf{a , b , c , d} ) foi violado. Indique qual dos axiomas ou propriedades dadas acima foi violada indicando entre os parênteses a letra correspondente.
( ) A probabilidade de chover hoje no deserto do Saara é -1 , haja vista que este evento não ocorrerá.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece quatro propriedades/axiomas de probabilidade:
    • (a) P[\emptyset]=0.
    • (b) \sum_{i=1}^{n} P\left[A_{i}\right]=1, para A_{1},\ldots,A_{n} uma partição de \Omega.
    • (c) P[A] \geq 0, para A um evento associado a \Omega.
    • (d) P[A] \leq 1, para A um evento associado a \Omega.
  • A afirmação a ser avaliada é: “A probabilidade de chover hoje no deserto do Saara é -1, haja vista que este evento não ocorrerá.”
O que o enunciado pede: identificar qual dos axiomas/propriedades (a, b, c ou d) foi violada por essa afirmação (indicar a letra correspondente).

Passo 2

Entender precisamente o que significa uma probabilidade e o que cada axioma impõe.
  • P[A] significa a probabilidade do evento A ocorrer; é um número real associado ao evento A.
  • O axioma (c) impõe a restrição básica de não-negatividade: P[A] \ge 0para todo evento A.
  • O axioma (d) impõe a restrição superior: P[A] \le 1.
  • Combinando (c) e (d) obtemos a faixa admissível para qualquer probabilidade: 0 \le P[A] \le 1.
Explicação didática: isso quer dizer que probabilidades são números entre 0 e 1 (inclusive). 0 corresponde a um evento impossível; 1 corresponde a um evento certo.

Passo 3

Analisar a afirmação concreta usando as desigualdades acima.
  • A afirmação dá que P[\text{chover no Saara hoje}] = -1.
  • Pelo axioma (c) temos que qualquer P[\cdot] deve satisfazer P[\cdot]\ge 0. Mas -1<0, logo o valor -1 viola diretamente essa desigualdade.

Passo 4

Verificar se outros axiomas também poderiam ser considerados violados (para evitar confusões na prova).
  • O axioma (a) diz que P[\emptyset]=0. Se o evento “chover no Saara hoje” fosse realmente impossível (isto é, igual ao conjunto vazio \emptyset), então o valor correto seria P[\text{chover no Saara hoje}]=0 por (a), nunca -1. Portanto a afirmação também contradiz o conteúdo de (a) indiretamente, mas a violação direta e fundamental é a de (c) (não-negatividade).
  • O axioma (d) não é violado aqui porque -1\le 1 não contradiz P[A]\le 1; a violação central é que o valor é menor que 0.
  • O axioma (b) (soma sobre uma partição) não é relevante diretamente para este número isolado.
Observação didática para prova: ao checar um valor de probabilidade, verifique primeiro se ele está no intervalo [0,1]. Se não estiver, já encontrou uma violação do axioma de não-negatividade ou do axioma de limite superior conforme o caso.

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar — como identificar o erro na prova:
  • Exemplo 1 (evento impossível): se A=\emptyset, então por (a) P[A]=0. Se alguém escrever P[A]=-0{,}2, viole (c).
  • Exemplo 2 (lançamento de moeda justa): P[\text{cara}]=\tfrac{1}{2}. Se alguém disser P[\text{cara}]=1{,}2, viole (d).
  • Conclusão prática: qualquer probabilidade negativa viola o axioma (c); qualquer probabilidade maior que 1 viola o axioma (d).

Passo 6

Resposta direta ao enunciado (qual axioma foi violado):
  • A afirmação de que P[\text{chover no Saara hoje}]=-1 viola o axioma (c) P[A]\ge 0, porque -1 é menor que 0.
Força aí: na prova, quando ver um número fora do intervalo [0,1], marque imediatamente a violação do axioma apropriado — isso economiza tempo e evita enrolação.

Resposta

(c)

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