Considere os axiomas e propriedades de probabilidade dadas de a) ad) a seguir:
a) P[\emptyset]=0;
b) \sum_{i=1}^{n} P\left[A_{i}\right]=1, para A_{1}, \cdots, A_{n} uma partição do espaço amostral \Omega;
c) P[A] \geq 0; para A, um evento aleatório associado ao espaço amostral;
d) P[A] \leq 1; para A, um evento aleatório associado ao espaço amostral.
Considere as afirmações acerca de probabilidades abaixo. Em cada uma delas um axioma ou propriedade de probabilidade apresentados acima (letras \mathbf{a , b , c , d} ) foi violado. Indique qual dos axiomas ou propriedades dadas acima foi violada indicando entre os parênteses a letra correspondente.
( ) Ao lançar um dado com certeza veremos um número inferior a dez, desta forma podemos dizer que a probabilidade de tal evento acontecer é 10 ;

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Foi considerado o lançamento de um dado comum cujo espaço amostral é \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.
  • O evento em questão é “ver um número inferior a dez” — esse evento é certo, isto é, corresponde a \Omega.
  • A declaração dada afirma que a probabilidade desse evento é 10.
  • Precisa-se identificar qual axioma/propriedade entre as letras \mathbf{a,b,c,d} foi violado por essa afirmação.

Passo 2

Lembrete dos axiomas/propriedades relevantes (resumido, com explicação):
  • \mathbf{c} diz que as probabilidades são não negativas: para qualquer evento A, P[A]\ge 0.
  • \mathbf{b} diz que se A_{1},\dots,A_{n} formam uma partição de \Omega então \sum_{i=1}^{n}P[A_{i}]=1.
  • A partir de \mathbf{b} e \mathbf{c} podemos tirar uma consequência útil: tomando a partição trivial \{A,A^{c}\} temos
P[A]+P[A^{c}]=1.
Como P[A^{c}]\ge 0 (pela \mathbf{c}), segue que
P[A]\le 1.
Essa desigualdade é exatamente a propriedade \mathbf{d}: para todo evento A, P[A]\le 1.

Passo 3

Aplicando ao caso concreto:
  • O evento "número inferior a 10" ao lançar o dado é o mesmo que \Omega, porque todos os resultados possíveis 1,2,3,4,5,6 são inferiores a 10.
  • Pela propriedade que decorre de \mathbf{b} (ou diretamente por norma usual dos axiomas), tem-se
P[\Omega]=1.
Logo o valor correto da probabilidade desse evento certo é 1, não 10.

Passo 4

Identificação da violação:
  • A afirmação atribui ao evento o valor P[\Omega]=10.
  • Isso viola a propriedade que exige que qualquer probabilidade seja no máximo 1, ou seja, viola \mathbf{d} (pois 10>1).
  • Observe que \mathbf{c} (não negatividade) não é violada aqui porque 10\ge 0; a violação é especificamente do teto superior.

Resposta

(d)

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