Considere A, B e C trés eventos quaisquer sobre um espaço amostral \Omega, com probabilidades de ocorrência diferentes de zero. Verifique se as alternativas a seguir são corretas ou falsas, justificando sua resposta:
(b) P(A \cup B \cup C) \leq P(A)+P(B)+P\text{(C)}, com a igualdade ocorrendo se, e somente se, os eventos forem mutuamente exclusivos (disjuntos).

Passo 1

O enunciado dá três eventos quaisquer A, B e C num espaço amostral \Omega, com P(A), P(B) e P\text{(C)} diferentes de zero. A afirmação a verificar é:
P(A\cup B\cup C)\le P(A)+P(B)+P\text{(C)},
com igualdade ocorrendo se, e somente se, os eventos forem mutuamente exclusivos (disjuntos).\n
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar a resposta.

Passo 2

Vamos escrever uma fórmula exata para P(A\cup B\cup C). A ferramenta padrão é a fórmula da inclusão-exclusão para três eventos. Ela diz exatamente:
P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P\text{(C)}-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).
Explico cada termo:
  • P(A), P(B), P\text{(C)} são as probabilidades dos eventos individuais.
  • Subtraímos P(A\cap B), P(A\cap C), P(B\cap C) porque ao somar P(A)+P(B)+P\text{(C)} cada interseção de dois eventos foi contada duas vezes.
  • Acrescentamos P(A\cap B\cap C) pois a interseção dos três foi subtraída três vezes nas correções anteriores, então precisamos somá-la de volta uma vez.

Passo 3

A partir da inclusão-exclusão, calculo a diferença entre a soma das probabilidades individuais e a probabilidade da união:
\begin{aligned} &P(A)+P(B)+P\text{(C)}-P(A\cup B\cup C)\\\ &\quad= P(A\cap B)+P(A\cap C)+P(B\cap C)-P(A\cap B\cap C). \end{aligned}
Vou chamar essa diferença de D. Assim
D = P(A\cap B)+P(A\cap C)+P(B\cap C)-P(A\cap B\cap C).
Note que as probabilidades são todas não-negativas. Além disso, para qualquer par de eventos, por monotonicidade da probabilidade,
P(A\cap B)\ge P(A\cap B\cap C),
pois A\cap B\cap C \subseteq A\cap B. O mesmo vale para os outros pares. Somando essas três desigualdades obtemos
P(A\cap B)+P(A\cap C)+P(B\cap C)\ge 3\,P(A\cap B\cap C).
Subtraindo P(A\cap B\cap C) de ambos os lados:
D \ge 2\,P(A\cap B\cap C)\ge 0.
Portanto D\ge 0, ou seja
P(A\cup B\cup C)\le P(A)+P(B)+P\text{(C)}.
Isso prova a desigualdade solicitada. Intuição rápida: ao somar as probabilidades individuais você pode ter contado várias vezes os pontos que estão em interseções; por isso a soma é sempre maior ou igual à probabilidade da união.

Passo 4

Agora vamos caracterizar quando ocorre igualdade. Igualdade P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P\text{(C)} equivale a D=0. A partir de
D = P(A\cap B)+P(A\cap C)+P(B\cap C)-P(A\cap B\cap C),
vemos que D=0 implica
P(A\cap B)+P(A\cap C)+P(B\cap C)=P(A\cap B\cap C).
Mas como cada termo P(\text{par}) é maior ou igual a P(A\cap B\cap C), a única maneira desta soma de três termos ser igual ao único termo P(A\cap B\cap C) é que cada um dos termos da soma seja igual a P(A\cap B\cap C) e que esse valor seja zero. Formalmente: para cada par
P(A\cap B)\ge P(A\cap B\cap C),
somando as três desigualdades obtemos \text{soma dos pares} \ge 3P(A\cap B\cap C). Se a soma dos pares é igual a P(A\cap B\cap C), então
3P(A\cap B\cap C)\le P(A\cap B\cap C),
isto é, 2P(A\cap B\cap C)\le 0, logo P(A\cap B\cap C)=0. Com P(A\cap B\cap C)=0 a igualdade da soma força P(A\cap B)=P(A\cap C)=P(B\cap C)=0. Portanto todas as interseções de pares têm probabilidade zero; em outras palavras, os eventos são mutuamente exclusivos (par a par disjuntos) em probabilidade.
Recíproco: se A, B e C são mutuamente exclusivos, então A\cap B=A\cap C=B\cap C=\emptyset (ou têm probabilidade zero), então pela inclusão-exclusão os termos de interseção desaparecem e obtemos exatamente
P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P\text{(C)}.
Assim a igualdade ocorre se, e somente se, os eventos forem mutuamente exclusivos (par a par disjuntos, up to conjuntos de probabilidade zero).

Passo 5

Exemplos para fixar a ideia:
  • Caso mutuamente exclusivos: P(A)=0,2, P(B)=0,3, P\text{(C)}=0,1 e A\cap B=A\cap C=B\cap C=\emptyset. Então P(A\cup B\cup C)=0,6 e a soma é 0,6 — igualdade.
  • Caso não disjuntos: se A=B com P(A)=0,2 e C qualquer, então P(A)+P(B)+P\text{(C)} conta A duas vezes e teremos desigualdade estrita.

Resposta

Verdadeira — a desigualdade P(A\cup B\cup C)\le P(A)+P(B)+P\text{(C)} é verdadeira; a igualdade ocorre se, e somente se, A, B e C são mutuamente exclusivos (pares disjuntos, isto é, P(A\cap B)=P(A\cap C)=P(B\cap C)=0).

Exercícios relacionados