Considere A, B e C trés eventos quaisquer sobre um espaço amostral
, com probabilidades de ocorrência diferentes de zero. Verifique se as alternativas a seguir são corretas ou falsas, justificando sua resposta:
(b)
, com a igualdade ocorrendo se, e somente se, os eventos forem mutuamente exclusivos (disjuntos).
(b)
Passo 1
O enunciado dá três eventos quaisquer
,
e
num espaço amostral
, com
,
e
diferentes de zero. A afirmação a verificar é:
com igualdade ocorrendo se, e somente se, os eventos forem mutuamente exclusivos (disjuntos).\n
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar a resposta.
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar a resposta.
Passo 2
Vamos escrever uma fórmula exata para
. A ferramenta padrão é a fórmula da inclusão-exclusão para três eventos. Ela diz exatamente:
Explico cada termo:
-
, , são as probabilidades dos eventos individuais. - Subtraímos
, , porque ao somar cada interseção de dois eventos foi contada duas vezes. - Acrescentamos
pois a interseção dos três foi subtraída três vezes nas correções anteriores, então precisamos somá-la de volta uma vez.
Passo 3
A partir da inclusão-exclusão, calculo a diferença entre a soma das probabilidades individuais e a probabilidade da união:
Vou chamar essa diferença de
. Assim
Note que as probabilidades são todas não-negativas. Além disso, para qualquer par de eventos, por monotonicidade da probabilidade,
pois
. O mesmo vale para os outros pares. Somando essas três desigualdades obtemos
Subtraindo
de ambos os lados:
Portanto
, ou seja
Isso prova a desigualdade solicitada. Intuição rápida: ao somar as probabilidades individuais você pode ter contado várias vezes os pontos que estão em interseções; por isso a soma é sempre maior ou igual à probabilidade da união.
Passo 4
Agora vamos caracterizar quando ocorre igualdade. Igualdade
equivale a
. A partir de
vemos que
implica
Mas como cada termo
é maior ou igual a
, a única maneira desta soma de três termos ser igual ao único termo
é que cada um dos termos da soma seja igual a
e que esse valor seja zero. Formalmente: para cada par
somando as três desigualdades obtemos
. Se a soma dos pares é igual a
, então
isto é,
, logo
. Com
a igualdade da soma força
. Portanto todas as interseções de pares têm probabilidade zero; em outras palavras, os eventos são mutuamente exclusivos (par a par disjuntos) em probabilidade.
Recíproco: se
,
e
são mutuamente exclusivos, então
(ou têm probabilidade zero), então pela inclusão-exclusão os termos de interseção desaparecem e obtemos exatamente
Assim a igualdade ocorre se, e somente se, os eventos forem mutuamente exclusivos (par a par disjuntos, up to conjuntos de probabilidade zero).
Passo 5
Exemplos para fixar a ideia:
- Caso mutuamente exclusivos:
, , e . Então e a soma é — igualdade. - Caso não disjuntos: se
com e qualquer, então conta duas vezes e teremos desigualdade estrita.
Resposta
Verdadeira — a desigualdade
é verdadeira; a igualdade ocorre se, e somente se,
,
e
são mutuamente exclusivos (pares disjuntos, isto é,
).