- Testes para medir a duração de aparelhos eletrodomésticos mostram que o modelo adequado é o normal
horas e
horas. Pede-se a probabilidade de que um aparelho escolhido ao acaso dure:
a) mais que 25.000 horas; (
)
b) menos que 30.000 horas; (
)
c) sabe-se que se um defeito aparecer dentro do tempo de garantia a fábrica deve consertá-lo, tendo assim um prejuízo. Qual deve ser a garantia para que a porcentagem de aparelhos consertados dentro da garantia seja inferior a
? (
horas)
a) mais que 25.000 horas; (
b) menos que 30.000 horas; (
c) sabe-se que se um defeito aparecer dentro do tempo de garantia a fábrica deve consertá-lo, tendo assim um prejuízo. Qual deve ser a garantia para que a porcentagem de aparelhos consertados dentro da garantia seja inferior a
Passo 1
Dados fornecidos:
e a variável duração dos aparelhos é modelada por uma distribuição normal com esses parâmetros.
Perguntas que o enunciado faz:
- Calcular a probabilidade de que um aparelho dure mais que
horas. - Calcular a probabilidade de que um aparelho dure menos que
horas. - Determinar qual deve ser o tempo de garantia (em horas) para que a porcentagem de aparelhos consertados dentro da garantia seja inferior a
.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Se
é normal com média e desvio padrão , ou seja , então para transformar numa variável normal padrão usamos a padronização
Aqui
mede quantos desvios-padrão a observação
está afastada da média
. Essa transformação é chave porque tabelas de probabilidade e funções prontas retornam probabilidades para a normal padrão
.
- Notação: seja
a função de distribuição acumulada da normal padrão, isto é,
- Algumas propriedades úteis:
- Simetria:
. - Para calcular
usamos . - Para calcular
usamos . - Para achar o quantil
tal que , primeiro encontramos com e depois voltamos à escala original por
- Simetria:
- Em provas sem calculadora normalmente usamos tabelas da normal padrão ou valores conhecidos (
, etc.). Vou indicar os valores numéricos que usamos (com aproximação razoável).
Passo 3
Resolução do item (a): probabilidade de durar mais que
horas.
- Padronizo:
- Queremos
. - Usando a simetria da normal padrão:
- Consultando a tabela da normal padrão (ou calculadora),
. Portanto
Passo 4
Resolução do item (b): probabilidade de durar menos que
horas.
- Padronizo:
- Queremos
. - Valor conhecido da tabela:
. Logo
Passo 5
Resolução do item (c): achar a garantia
tal que a porcentagem de aparelhos consertados dentro da garantia seja inferior a
.
- Interpretando: “aparelhos consertados dentro da garantia” significa durações
menores ou iguais à garantia . Queremos . - Para encontrar o limite onde essa probabilidade é exatamente
(o quantil de ), procedemos:
- Chamando
o quantil correspondente na normal padrão tal que , temos (valor tabelado/comercialmente usado). - Volto à escala original:
- Calculo numérico:
- Conclusão prática: para que a porcentagem de aparelhos consertados dentro da garantia seja inferior a
, a garantia deve ser menor que esse valor-limite; um valor prático arredondado é cerca de horas. (Se a prova pedir um valor segundo tabelas com menos casas decimais, usar o arredondamento da tabela; isso explica pequenas diferenças como que podem aparecer dependendo da tabela de usada.)
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) garantia horas
(b)
(c) garantia