1. Testes para medir a duração de aparelhos eletrodomésticos mostram que o modelo adequado é o normal \operatorname{com} \mu=26.000 horas e \sigma=4.000 horas. Pede-se a probabilidade de que um aparelho escolhido ao acaso dure:
    a) mais que 25.000 horas; ( \mathrm{p}=0,5967 )
    b) menos que 30.000 horas; ( \mathrm{p}=0,8413 )
    c) sabe-se que se um defeito aparecer dentro do tempo de garantia a fábrica deve consertá-lo, tendo assim um prejuízo. Qual deve ser a garantia para que a porcentagem de aparelhos consertados dentro da garantia seja inferior a 10 \% ? ( \mathrm{X}_{\alpha}=20.840 horas)

Passo 1

Dados fornecidos:
\mu=26\,000\\ \text{horas},\qquad \sigma=4\,000\\ \text{horas},
e a variável duração dos aparelhos é modelada por uma distribuição normal com esses parâmetros.
Perguntas que o enunciado faz:
  1. Calcular a probabilidade de que um aparelho dure mais que 25\,000 horas.
  2. Calcular a probabilidade de que um aparelho dure menos que 30\,000 horas.
  3. Determinar qual deve ser o tempo de garantia (em horas) para que a porcentagem de aparelhos consertados dentro da garantia seja inferior a 10\%.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Se X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, ou seja X\sim N(\mu,\sigma^{2}), então para transformar X numa variável normal padrão Z\sim N(0,1) usamos a padronização
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z mede quantos desvios-padrão a observação X está afastada da média \mu. Essa transformação é chave porque tabelas de probabilidade e funções prontas retornam probabilidades para a normal padrão Z.
  • Notação: seja \Phi(z) a função de distribuição acumulada da normal padrão, isto é,
\Phi(z)=P(Z\le z).
  • Algumas propriedades úteis:
    • Simetria: \Phi(-z)=1-\Phi(z).
    • Para calcular P(X>a) usamos P(X>a)=1-P(X\le a)=1-\Phi\!\big(\tfrac{a-\mu}{\sigma}\big).
    • Para calcular P(X<a) usamos P(X<a)=\Phi\!\big(\tfrac{a-\mu}{\sigma}\big).
    • Para achar o quantil x_p tal que P(X\le x_p)=p, primeiro encontramos z_p com \Phi(z_p)=p e depois voltamos à escala original por
    x_p=\mu+z_p\,\sigma.
  • Em provas sem calculadora normalmente usamos tabelas da normal padrão ou valores conhecidos ( \Phi(1)\approx0,8413, etc.). Vou indicar os valores numéricos que usamos (com aproximação razoável).

Passo 3

Resolução do item (a): probabilidade de durar mais que 25\,000 horas.
  1. Padronizo:
z=\frac{25\,000-26\,000}{4\,000}=\frac{-1\,000}{4\,000}=-0,25.
  1. Queremos P(X>25\,000)=P\big(Z>-0,25\big).
  2. Usando a simetria da normal padrão:
P\big(Z>-0,25\big)=1-P\big(Z\le -0,25\big)=1-\Phi(-0,25)=\Phi(0,25).
  1. Consultando a tabela da normal padrão (ou calculadora), \Phi(0,25)\approx 0,5987. Portanto
P(X>25\,000)\approx 0,5987.

Passo 4

Resolução do item (b): probabilidade de durar menos que 30\,000 horas.
  1. Padronizo:
z=\frac{30\,000-26\,000}{4\,000}=\frac{4\,000}{4\,000}=1.
  1. Queremos P(X<30\,000)=P(Z<1)=\Phi(1).
  2. Valor conhecido da tabela: \Phi(1)\approx 0,8413. Logo
P(X<30\,000)\approx 0,8413.

Passo 5

Resolução do item (c): achar a garantia g tal que a porcentagem de aparelhos consertados dentro da garantia seja inferior a 10\%.
  1. Interpretando: “aparelhos consertados dentro da garantia” significa durações X menores ou iguais à garantia g. Queremos P(X\le g)<0,10.
  2. Para encontrar o limite onde essa probabilidade é exatamente 0,10 (o quantil de 10\%), procedemos:
P(X\le g)=0,10 \quad\Rightarrow\quad \Phi\!\left(\frac{g-\mu}{\sigma}\right)=0,10.
  1. Chamando z_{0,10} o quantil correspondente na normal padrão tal que \Phi(z_{0,10})=0,10, temos z_{0,10}\approx -1,2816 (valor tabelado/comercialmente usado).
  2. Volto à escala original:
g=\mu+z_{0,10}\sigma=26\,000+(-1,2816)\cdot 4\,000.
  1. Calculo numérico:
g=26\,000-1,2816\cdot 4\,000=26\,000-5\,126,4=20\,873,6\\ \text{horas}.
  1. Conclusão prática: para que a porcentagem de aparelhos consertados dentro da garantia seja inferior a 10\%, a garantia deve ser menor que esse valor-limite; um valor prático arredondado é cerca de 20\,874 horas. (Se a prova pedir um valor segundo tabelas com menos casas decimais, usar o arredondamento da tabela; isso explica pequenas diferenças como 20\,840 que podem aparecer dependendo da tabela de z usada.)

Resposta

(a) P(X>25\,000)\approx 0,5987\n
(b) P(X<30\,000)\approx 0,8413\n
(c) garantia \approx 20\,874 horas

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