1. Dada a função de densidade \mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{c}2 x, 0 \leq \mathrm{x} \leq 1 \\\\ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right.á
Determine:
a) Mostre que \mathrm{f}(\mathrm{x}) é uma fdp.
b) \mathrm{P}(\mathrm{X} \leq 1 / 2)
c) P(1 / 3 \leq X \leq 2 / 3)
d) P\left(X \leq \frac{1}{2} / \frac{1}{3} \leq \mathrm{X} \leq \frac{2}{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\begin{cases}2x, & 0 \le \mathrm{x} \le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}á
e pede quatro coisas:
(a) mostrar que \mathrm{f}(\mathrm{x}) é uma função densidade de probabilidade (fdp);
(b) calcular \mathrm{P}\big(\mathrm{X}\le \tfrac{1}{2}\big);
(c) calcular \mathrm{P}\big(\tfrac{1}{3}\le \mathrm{X}\le \tfrac{2}{3}\big);
(d) calcular a probabilidade condicional \mathrm{P}\!\big(\mathrm{X}\le \tfrac{1}{2}\;|\;\tfrac{1}{3}\le \mathrm{X}\le \tfrac{2}{3}\big).]

Passo 2

O que significa ser uma fdp? Vou explicar devagar e com carinho. Uma função \mathrm{f}(\mathrm{x}) é uma fdp se satisfaz duas condições:
  1. Não-negatividade: \mathrm{f}(\mathrm{x}) \ge 0 para todo \mathrm{x}.
  2. Normalização: a integral da função em todo o eixo real é 1, isto é,
\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{f}(\mathrm{x})\,\mathrm{d}x = 1.
Essas duas propriedades significam, respectivamente, que as “densidades” não podem ser negativas (probabilidades não negativas) e que a probabilidade total de ocorrer algum valor é 1.

Passo 3

Verificando a não-negatividade para a função dada: para \mathrm{x} fora de [0,1] temos \mathrm{f}(\mathrm{x})=0, então é não-negativa ali. Para \mathrm{x} em [0,1] temos \mathrm{f}(\mathrm{x})=2x. Como x\ge 0 nesse intervalo, 2x\ge 0. Logo, \mathrm{f}(\mathrm{x})\ge 0 para todo \mathrm{x}. Esta é a primeira condição satisfeita.

Passo 4

Agora a normalização. Explico a técnica: a integral de uma função contínua 2x tem antiderivada x^2 porque, em geral, a regra é
\int x^n \,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
então para n=1 obtemos \int x\,\mathrm{d}x = \tfrac{x^2}{2}. Aqui temos 2x, então \int 2x\,\mathrm{d}x = 2\cdot \tfrac{x^2}{2} = x^2. Usamos isso para calcular a integral total:
\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{f}(\mathrm{x})\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} 2x\,\mathrm{d}x = \big[x^2\big]_{0}^{1} = 1^2 - 0^2 = 1.
Portanto a segunda condição também é satisfeita.

Passo 5

Conclusão do item (a): como \mathrm{f}(\mathrm{x})\ge 0 para todo \mathrm{x} e \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{f}(\mathrm{x})\,\mathrm{d}x = 1, então \mathrm{f}(\mathrm{x}) é uma fdp. (Resposta do item (a) já concluída.)

Passo 6

Agora calculamos probabilidades usando integrais: para uma fdp contínua, a probabilidade de um evento do tipo \mathrm{a}\le \mathrm{X}\le \mathrm{b} é
\mathrm{P}(\mathrm{a}\le \mathrm{X}\le \mathrm{b}) = \int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \mathrm{f}(\mathrm{x})\,\mathrm{d}x.
Para o item (b) queremos \mathrm{P}\big(\mathrm{X}\le \tfrac{1}{2}\big). Como a densidade é zero para \mathrm{x}<0, isso é
\mathrm{P}\big(\mathrm{X}\le \tfrac{1}{2}\big) = \int_{0}^{1/2} 2x\,\mathrm{d}x = \big[x^2\big]_{0}^{1/2} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 - 0 = \tfrac{1}{4}.

Passo 7

Para o item (c) calculamos
\mathrm{P}\!\left(\tfrac{1}{3}\le \mathrm{X}\le \tfrac{2}{3}\right) = \int_{1/3}^{2/3} 2x\,\mathrm{d}x = \big[x^2\big]_{1/3}^{2/3} = \left(\tfrac{2}{3}\right)^2 - \left(\tfrac{1}{3}\right)^2.
Faço as contas de frações com calma:
\left(\tfrac{2}{3}\right)^2 = \tfrac{4}{9},\qquad \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 = \tfrac{1}{9},
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\mathrm{P}\!\left(\tfrac{1}{3}\le \mathrm{X}\le \tfrac{2}{3}\right) = \tfrac{4}{9} - \tfrac{1}{9} = \tfrac{3}{9} = \tfrac{1}{3}.

Passo 8

Para o item (d) precisamos da probabilidade condicional. Lembre-se da definição para eventos A e B quando \mathrm{P}(B)>0:
\mathrm{P}(A\mid B) = \frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)}.
Aqui tome A=\{\mathrm{X}\le \tfrac{1}{2}\} e B=\{\tfrac{1}{3}\le \mathrm{X}\le \tfrac{2}{3}\}. Então A\cap B = \{\tfrac{1}{3}\le \mathrm{X}\le \tfrac{1}{2}\}. Calculamos numerador e denominador por integrais:
Numerador:
\mathrm{P}\!\left(\tfrac{1}{3}\le \mathrm{X}\le \tfrac{1}{2}\right) = \int_{1/3}^{1/2} 2x\,\mathrm{d}x = \big[x^2\big]_{1/3}^{1/2} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 - \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 = \tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{9}.
Faço as frações com denominador comum 36:
\tfrac{1}{4} = \tfrac{9}{36},\qquad \tfrac{1}{9} = \tfrac{4}{36} \implies \tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{9} = \tfrac{5}{36}.
Denominador: já calculado no item (c),
\mathrm{P}\!\left(\tfrac{1}{3}\le \mathrm{X}\le \tfrac{2}{3}\right) = \tfrac{1}{3} = \tfrac{12}{36}.
Portanto a probabilidade condicional é
\mathrm{P}\!\left(\mathrm{X}\le \tfrac{1}{2}\;\big|\;\tfrac{1}{3}\le \mathrm{X}\le \tfrac{2}{3}\right) = \frac{\tfrac{5}{36}}{\tfrac{12}{36}} = \frac{5}{12}.

Resposta

(a) Sim, \mathrm{f}(\mathrm{x}) é uma fdp.
(b) \tfrac{1}{4}
(c) \tfrac{1}{3}
(d) \tfrac{5}{12}

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