Dada a função de densidade \mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{c}2 x, 0 \leq \mathrm{x} \leq 1 \\\\ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right.
Determine:
a) Mostre que \mathrm{f}(\mathrm{x}) é uma fdp.
b) \mathrm{P}(\mathrm{X} \leq 1 / 2)
c) P(1 / 3 \leq X \leq 2 / 3)
d) P\left(X \leq \frac{1}{2} / \frac{1}{3} \leq \mathrm{X} \leq \frac{2}{3}\right)
e pede quatro coisas:
(a) mostrar que \mathrm{f}(\mathrm{x}) é uma função densidade de probabilidade (fdp);
(b) calcular \mathrm{P}\big(\mathrm{X}\le \tfrac{1}{2}\big);
(c) calcular \mathrm{P}\big(\tfrac{1}{3}\le \mathrm{X}\le \tfrac{2}{3}\big);
(d) calcular a probabilidade condicional \mathrm{P}\!\big(\mathrm{X}\le \tfrac{1}{2}\;|\;\tfrac{1}{3}\le \mathrm{X}\le \tfrac{2}{3}\big).]
Passo 2
O que significa ser uma fdp? Vou explicar devagar e com carinho. Uma função \mathrm{f}(\mathrm{x}) é uma fdp se satisfaz duas condições:
Não-negatividade: \mathrm{f}(\mathrm{x}) \ge 0 para todo \mathrm{x}.
Normalização: a integral da função em todo o eixo real é 1, isto é,
Essas duas propriedades significam, respectivamente, que as “densidades” não podem ser negativas (probabilidades não negativas) e que a probabilidade total de ocorrer algum valor é 1.
Passo 3
Verificando a não-negatividade para a função dada: para \mathrm{x} fora de [0,1] temos \mathrm{f}(\mathrm{x})=0, então é não-negativa ali. Para \mathrm{x} em [0,1] temos \mathrm{f}(\mathrm{x})=2x. Como x\ge 0 nesse intervalo, 2x\ge 0. Logo, \mathrm{f}(\mathrm{x})\ge 0 para todo \mathrm{x}. Esta é a primeira condição satisfeita.
Passo 4
Agora a normalização. Explico a técnica: a integral de uma função contínua 2x tem antiderivada x^2 porque, em geral, a regra é
\int x^n \,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
então para n=1 obtemos \int x\,\mathrm{d}x = \tfrac{x^2}{2}. Aqui temos 2x, então \int 2x\,\mathrm{d}x = 2\cdot \tfrac{x^2}{2} = x^2. Usamos isso para calcular a integral total:
Conclusão do item (a): como \mathrm{f}(\mathrm{x})\ge 0 para todo \mathrm{x} e \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{f}(\mathrm{x})\,\mathrm{d}x = 1, então \mathrm{f}(\mathrm{x}) é uma fdp. (Resposta do item (a) já concluída.)
Passo 6
Agora calculamos probabilidades usando integrais: para uma fdp contínua, a probabilidade de um evento do tipo \mathrm{a}\le \mathrm{X}\le \mathrm{b} é
Para o item (d) precisamos da probabilidade condicional. Lembre-se da definição para eventos A e B quando \mathrm{P}(B)>0:
\mathrm{P}(A\mid B) = \frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)}.
Aqui tome A=\{\mathrm{X}\le \tfrac{1}{2}\} e B=\{\tfrac{1}{3}\le \mathrm{X}\le \tfrac{2}{3}\}. Então A\cap B = \{\tfrac{1}{3}\le \mathrm{X}\le \tfrac{1}{2}\}. Calculamos numerador e denominador por integrais: