Considere a e b inteiros.
Mostre que a^{2}-4 b não pode ser nem 2 , nem 3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existem inteiros a e b tais que
a^{2} - 4b = 2 \quad\text{ou}\quad a^{2} - 4b = 3.
O conteúdo principal aqui é aritmética modular, mais precisamente análise de quadrados módulo 4.

Passo 2

Analisamos as possíveis classes de restos quadráticos de um inteiro módulo 4. Se a é par, a=2k para algum inteiro k, então
a^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2} \equiv 0 \pmod{4}.
Se a é ímpar, a=2k+1, então
a^{2} = (2k+1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 \equiv 1 \pmod{4}.
Logo,
a^{2} \equiv 0 \text{ ou }1 \pmod{4}.

Passo 3

Como 4b é múltiplo de 4, temos
4b \equiv 0 \pmod{4}.
Subtraindo,
a^{2} - 4b \equiv a^{2} \equiv 0 \text{ ou }1 \pmod{4}.

Passo 4

Os valores 2 e 3 não são congruentes nem a 0 nem a 1 módulo 4, pois
2 \equiv 2 \pmod{4}, \quad 3 \equiv 3 \pmod{4}.
Portanto não podem ser iguais a a^{2}-4b.

Resposta

Não existem inteiros a,b tais que a^{2}-4b=2 nem tais que a^{2}-4b=3.

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