Considere A=(0,0,0), B=(3,2,1), r:lx=4+t y=-2 z=2 t. Ache C in r tal que A C=B C.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
e pede o ponto tal que as distâncias e sejam iguais. O conteúdo aqui é distância em ; para evitar raízes, usaremos a igualdade dos quadrados das distâncias.

Passo 2

Parametrizamos C por
C(t) = (4+t,,-2,,2t)
Então
AC = C(t)-A = (4+t,,-2,,2t),
BC = C(t)-B = l((4+t)-3,,-2-2,;2t-1r) = (1+t,,-4,,2t-1)

Passo 3

Calculamos os quadrados das distâncias:
AC^2 = |AC|^2 = (4+t)^2 + (-2)^2 + (2t)^2 = (t^2+8t+16) + 4 + 4t^2 = 5t^2 +8t +20,
BC^2 = |BC|^2 = (1+t)^2 + (-4)^2 + (2t-1)^2 = (t^2+2t+1) + 16 + (4t^2-4t+1) = 5t^2 -2t +18

Passo 4

Impondo AC^2 = BC^2 temos
5t^2 +8t +20 = 5t^2 -2t +18 Longrightarrow 8t +20 = -2t +18 Longrightarrow 10t = -2 Longrightarrow t = -tfrac15

Passo 5

Substituindo t=-tfrac15 em C(t):
C = l(4 - tfrac15,,-2,,2l(-tfrac15r)r) = l(tfrac195,,-2,,-tfrac25r)

Resposta

C=l(tfrac195,,-2,,-tfrac25r).

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