Os pontos P=(-2,0) ; Q=(6,2), R=(4,-4) pertencem a uma circunferência. Determine:
a) o centro C da circunferência.
b) o raio r da circunferência.

Passo 1

O enunciado dá três pontos P=(-2,0), Q=(6,2) e R=(4,-4) que pertencem a uma circunferência. Para encontrar o centro C=(h,k) e o raio r dessa circunferência, vamos usar o método das mediatrizes (perpendicular bisectors) de dois dos seus lados: primeiro de PQ e depois de PR. A interseção dessas mediatrizes será o centro C, e daí calculamos r pela distância de C a qualquer um dos pontos.

Passo 2

Para o segmento PQ:
A inclinação de PQ é
mPQ=2-06-(-2)=28=14
A mediatriz tem inclinação perpendicular
m1=-4
e passa pelo ponto médio
M1l(2,1r), 2=-2+62,;1=0+22
A equação ponto-inclinação da mediatriz de PQ é
y-1=-4,(x-2)

Passo 3

Para o segmento PR:
A inclinação de PR é
mPR=-4-04-(-2)=-46=-23
A mediatriz tem inclinação perpendicular
m2=32
e passa pelo ponto médio
M2l(1,-2r), 1=-2+42,;-2=0+(-4)2
A equação ponto-inclinação da mediatriz de PR é
y+2=32,(x-1)

Passo 4

Para achar C, escrevemos cada mediatriz em forma y=dots e igualamos:
Da mediatriz de PQ:
y=1-4(x-2)=9-4x
Da mediatriz de PR:
y=-2+32(x-1)=32x-72
Igualando
9-4x=32x-72
9+72=112,x
252=112,x Longrightarrow x=2511
Substituindo em y=9-4x:
y=9-4cdot2511 =9911-10011 =-111
Logo
C=l(tfrac2511,-tfrac111r)

Passo 5

O raio r é a distância de C a P(-2,0):
r =raizl(h+2r)^2+(k-0)^2 =raizl(tfrac2511+2r)^2+l(-tfrac111r)^2 =raizl(tfrac4711r)^2+l(tfrac111r)^2 =raiz2209+1121 =raiz221011

Resposta

O centro da circunferência é
C=l(tfrac2511,-tfrac111r)
e o raio é
r=raiz221011

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