Sejam A=(0,0), B=(-2,4), C=(1,3). Determine o ângulo B A C e a equação da reta bissetriz (interna).

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(0,0), B=(-2,4) e C=(1,3). Queremos o ângulo ang<= BAC (entre os vetores AB e AC) e a equação da reta bissetriz interna desse ângulo. Para isso vamos usar produto escalar para o ângulo e a soma de versores para a bissetriz.

Passo 2

Calculamos primeiro os vetores e seus comprimentos:
AB=B-A=(-2,4),
AC=C-A=(1,3).
Seus módulos são
|AB|=raiz(-2)^2+4^2=raiz20=2raiz5,
|AC|=raiz1^2+3^2=raiz10
O produto escalar é
ABcdotAC=(-2)cdot1 + 4cdot3 = -2 + 12 = 10

Passo 3

Pelo produto escalar,
cos(ang<= BAC) = ABcdotAC|AB|;|AC| = 102raiz5;raiz10 = 1raiz2
Logo ang<= BAC = 45^circ.

Passo 4

Para achar a bissetriz interna, formamos os versores
hat u = AB|AB| = l(-tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5r), hat v = AC|AC| = l(tfrac1raiz10,,tfrac3raiz10r)
A direção da bissetriz é hat u + hat v, isto é
hat u + hat v = l(-tfrac1raiz5+tfrac1raiz10,;tfrac2raiz5+tfrac3raiz10r) = 1raiz10l(-raiz2+1,;2raiz2+3r)

Passo 5

Como a bissetriz passa por A=(0,0) e tem direção proporcional a (-raiz2+1,,2raiz2+3), sua equação cartesiana é
y = m,x,
onde
m = 2raiz2+3-raiz2+1 = -l(7 + 5raiz2r)
Portanto a reta bissetriz interna é
y = -l(7 + 5raiz2r),x

Resposta

ang<= BAC = 45^circ
Equação da bissetriz interna: y = -(7 + 5raiz2),x.

Exercícios relacionados