Considere um balão esférico numa sala com ar. O tecido do balão tem emissividade igual a 0.86 . A pressão e temperatura na sala são, respectivamente, 99 kPa e 250^{\circ} \mathrm{C}.
O balão contém o refrigerante R134a e inicialmente, seu volume é 2.75 L e o fluido refrigerante está a 40^{\circ} \mathrm{C} com título de 93 \%.
O balão é aquecido e seu volume aumenta 57 \%. Assuma que a pressão no interior do balão é proporcional ao quadrado do raio do balão.
a) (0.4 pt) Qual a pressão final no interior do balão?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Pressão e temperatura da sala: 99\\ \text{kPa} e 25{,}0^\circ\mathrm{C} (assumi que 250^\circ\mathrm{C} era um 25{,}0^\circ\mathrm{C} por coerência típica).
  • Emissividade do tecido do balão: 0{,}86 (não será usada nesta parte (a)).
  • O balão contém R134a; inicialmente:
    • Volume inicial V_1 = 2{,}75\\ \text{L}.
    • Temperatura do refrigerante T_1 = 40^\circ\mathrm{C}.
    • Título x = 93\% (indica mistura líquido–vapor).
  • O balão é aquecido e o volume aumenta 57\%. Logo V_2 = 1{,}57\,V_1.
  • Informação física importante dada: a pressão no interior do balão é proporcional ao quadrado do raio do balão (isto é, P\propto r^2).
  • Pergunta (a): calcular a pressão final no interior do balão P_2.

Passo 2

Entender a relação entre volume e raio e transformar a proporcionalidade dada em relação entre pressões.
  • O volume de uma esfera é proporcional ao cubo do raio:
V = \frac{4}{3}\pi r^3 \quad\Rightarrow\quad r\propto V^{1/3}.
  • Como foi dado P\propto r^2, substituindo a dependência de r em termos de V obtemos
P \propto (V^{1/3})^2 = V^{2/3}.
  • Dessa forma a razão entre pressioness final e inicial é
\frac{P_2}{P_1}=\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{2/3}.
Aqui expliquei passo a passo: usei a fórmula do volume de esfera para ligar r e V, depois apliquei a proporcionalidade P\propto r^2 para achar a lei P\propto V^{2/3}. Isso é tudo o que precisamos para relacionar P_2 e P_1.

Passo 3

Calcular V_2 e a razão V_2/V_1.
  • Como o volume aumenta 57\%,
V_2 = 1{,}57\,V_1.
  • Logo a razão é
\frac{V_2}{V_1}=1{,}57.

Passo 4

Aplicar a fórmula obtida para achar a razão de pressões numericamente.
  • Usando
\frac{P_2}{P_1}=\left(1{,}57\right)^{2/3}
vamos calcular o fator:
\left(1{,}57\right)^{2/3}\approx 1{,}3517.
(Para fazer isso à mão numa prova: calcule \ln(1{,}57), multiplique por 2/3 e aplique a função exponencial; ou use aproximação por potenciação com raízes cúbicas e quadrados se preferir.)

Passo 5

Determinar P_1 (pressão inicial dentro do balão).
  • Como o refrigerante está em duas fases (título 93\%) a pressão no interior do balão corresponde à pressão de saturação do R134a à temperatura de 40^\circ\mathrm{C}.
  • Peguei esse valor em tabelas de propriedades do R134a (tabela de pressão de saturação versus temperatura). Da tabela:
P_1 = P_{\text{sat, R134a}}(40^\circ\mathrm{C}) \approx 1{,}014\times10^{3}\\ \text{kPa} = 1014\\ \text{kPa}.
(Observação didática: sempre que houver mistura líquido–vapor em equilíbrio, a pressão do sistema é a pressão de saturação correspondente à temperatura; por isso precisamos desse valor na tabela do fluido.)

Passo 6

Calcular a pressão final P_2.
  • Usando P_2 = P_1\left(1{,}57\right)^{2/3}:
P_2 \approx 1014\\ \text{kPa}\times 1{,}3517 \approx 1370\\ \text{kPa}.
  • Em unidades mais comuns:
P_2 \approx 1{,}37\\ \text{MPa}.

Resposta

P_2 = 1{,}37\\ \text{MPa} = 1370\\ \text{kPa}

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