*e3 Um mergulhador realiza 2,5 giros ao saltar de uma plataforma de 10 metros. Supondo que a velocidade vertical inicial seja nula, determine a velocidade angular média do merguthador.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo que vou usar está aqui):
  • Altura da plataforma: h=10\\ \mathrm{m}.
  • Número de giros completos realizados pelo mergulhador: N=2{,}5 giros.
  • Velocidade vertical inicial nula: v_{0}=0.
    O que o problema pede: determinar a velocidade angular média do mergulhador, ou seja, a velocidade angular média \bar{\omega} durante a queda.

Passo 2

Transformar o número de giros em deslocamento angular total.
Cada giro completo corresponde a 2\pi radianos. Logo o deslocamento angular total \Delta\theta é
\Delta\theta = N\cdot 2\pi.
Substituindo N=2{,}5:
\Delta\theta = 2{,}5\cdot 2\pi = 5\pi\\ \text{rad}.
Breve explicação: radiano é a unidade natural para ângulos em problemas de rotação; aqui precisamos do ângulo em radianos para relacioná-lo com velocidade angular.

Passo 3

Calcular o tempo de queda t. O mergulhador cai do repouso sob a aceleração da gravidade g. Uso o valor padrão
g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
A equação do movimento vertical (queda livre, velocidade inicial nula) é
h = \tfrac{1}{2} g t^{2},
onde h é a altura, g a aceleração da gravidade e t o tempo que se quer achar. Isolando t:
t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}.
Substituindo h=10\\ \mathrm{m} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
t = \sqrt{\dfrac{2\cdot 10}{9{,}8}} = \sqrt{\dfrac{20}{9{,}8}}.
Fazendo as simplificações numéricas:
\dfrac{20}{9{,}8}=\dfrac{200}{98}=\dfrac{100}{49}\quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{\dfrac{100}{49}}=\dfrac{10}{7}\\ \mathrm{s}\approx 1{,}4286\\ \mathrm{s}.
Comentário prático: é comum obter um tempo da ordem de 1 a 2 s para quedas de 10 m — isso ajuda a checar se o resultado faz sentido.

Passo 4

Definir e calcular a velocidade angular média. A definição é
\bar{\omega}=\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t},
onde \Delta\theta é o deslocamento angular total e \Delta t é o intervalo de tempo. Aqui \Delta\theta=5\pi\\ \text{rad} e \Delta t=t=\dfrac{10}{7}\\ \mathrm{s}. Portanto
\bar{\omega}=\dfrac{5\pi}{10/7}=5\pi\cdot\dfrac{7}{10}= \dfrac{35}{10}\pi=3{,}5\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Valor numérico aproximado:
\bar{\omega}\approx 3{,}5\pi \approx 10{,}9956\\ \mathrm{rad/s}\approx 11{,}0\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Interpretação alternativa útil para prova: em revoluções por segundo (Hz), a frequência média f é
f=\dfrac{N}{t}=\dfrac{2{,}5}{10/7}=2{,}5\cdot\dfrac{7}{10}=1{,}75\\ \text{rev/s}.
E de fato \bar{\omega}=2\pi f = 2\pi\cdot 1{,}75 = 3{,}5\pi\\ \mathrm{rad/s}, consistência checada. Dica de prova: primeiro calcula-se o tempo de queda com as equações do MRUV e só depois divide-se o ângulo total por esse tempo.

Resposta

\bar{\omega}=3{,}5\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 11{,}0\\ \mathrm{rad/s}
f=1{,}75\\ \text{rev/s}

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