Um homem de massa M=80 \mathrm{~kg} está em repouso sobre um lago gelado. Ele chuta uma bola de massa m=0,50 \mathrm{~kg}, que adquire uma velocidade de v_{b}=4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
  • Que velocidade v_{H} adquire o homem logo após chutar a bola?
  • Qual é o módulo do momento linear total P do sistema ?
Desconsidere o atrito.
Escolha uma opção:
◯ a. v_{H}=2,5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}, P=2 \mathrm{~kg} . \mathrm{m} / \mathrm{s}
◯ b. v_{H}=80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, P=40 \mathrm{~kg} . \mathrm{m} / \mathrm{s}
◯ c. v_{H}=2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, P=0 \mathrm{~kg} . \mathrm{m} / \mathrm{s}
◯ d. v_{H}=2,5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}, P=0 \mathrm{~kg} . \mathrm{m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte:
  • Dados:
    • A massa do homem é M=80\\ \mathrm{kg}.
    • A massa da bola é m=0,50\\ \mathrm{kg}.
    • A velocidade da bola logo após o chute é v_{b}=4,0\\ \mathrm{m/s}.
    • Inicialmente o homem+bola estão em repouso (logo o momento linear total inicial é nulo).
    • Despreza-se o atrito.
  • Perguntas:
    1. Qual a velocidade v_{H} que o homem adquire logo após chutar a bola?
    2. Qual é o módulo do momento linear total P do sistema depois do chute?

Passo 2

Conservação do momento linear (conceito e fórmula):
  • Para um sistema isolado (sem forças externas horizontais relevantes, aqui desconsiderando atrito), o momento linear total é conservado.
  • O momento linear de um corpo é dado por p = m v, onde:
    • m é a massa (em \mathrm{kg}),
    • v é a velocidade (em \mathrm{m/s}),
    • p tem unidade \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Como o sistema homem+bolla estava em repouso antes do chute, o momento total inicial é p_{\text{inicial}} = 0.
  • Pelo princípio da conservação, p_{\text{final}} = 0.
  • Tomando a direção da velocidade da bola como positiva, a soma dos momentos depois do chute é m v_{b} + M v_{H} = 0.

Passo 3

Resolver a equação da conservação para v_{H}:
  • A equação é M v_{H} = -\,m v_{b}.
  • Portanto v_{H} = -\frac{m}{M}\,v_{b}.
  • Substituindo os números fornecidos: v_{H} = -\frac{0,50}{80}\cdot 4,0.
  • Calcular a fração: \frac{0,50}{80} = 0,00625.
  • Multiplicando por 4,0: v_{H} = -0,025\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: o sinal negativo indica que o homem se move na direção oposta à da bola. Em módulo, |v_{H}| = 0,025\\ \mathrm{m/s} = 2,5\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 4

Calcular o momento linear de cada corpo e o momento total:
  • Momento da bola: p_{\text{bola}} = m v_{b} = 0,50\cdot 4,0 = 2,0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Momento do homem (usando a velocidade com sinal): p_{\text{homem}} = M v_{H} = 80\cdot(-0,025) = -2,0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Soma vetorial (momento total): P = p_{\text{bola}} + p_{\text{homem}} = 2,0 + (-2,0) = 0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Em módulo, o momento linear total é 0\\ \mathrm{kg\cdot m/s} (os momentos se cancelam exatamente).

Passo 5

Conclusão comparando com as opções fornecidas:
  • A velocidade do homem em módulo é 2,5\\ \mathrm{cm/s} e o momento total é 0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • A opção que corresponde a esses valores é a alternativa (d).

Resposta

v_{H}=2,5\\ \mathrm{cm/s}
P=0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}

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