Considere um barco que vai atravessar um rio de margens paralelas e cuja distância entre elas é 324 m . Sa-be-se que a correnteza é paralela as margens e tem velocidade de 16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O barqueiro decide seguir o trajeto de comprimento mínimo. Sendo 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a velocidade do barco em relação a água, determine o tempo para esse barco fazer a travessia.

Passo 1

O enunciado fala de um barco que quer atravessar um rio de largura 324,m. A correnteza tem velocidade paralela às margens de 16,m/s, e o barco consegue navegar a 20,m/s em relação à água. O objetivo é seguir o trajeto de comprimento mínimo, ou seja, ir em linha reta de uma margem à outra (perpendicularmente às margens). Para isso, vamos usar o princípio de composição de velocidades e decompor a velocidade do barco em relação à água em componentes paralela e perpendicular às margens.

Passo 2

Definimos eixos tal que:
x\text{-eixo: paralelo às margens (sentido da correnteza)}, \quad y\text{-eixo: perpendicular às margens (sentido da travessia)}.àà
Seja \vec v_{BW} a velocidade do barco em relação à água (módulo 20 m/s) e \vec v_{WG} a velocidade da água em relação ao solo (módulo 16 m/s em +x). A velocidade do barco em relação ao solo é
\vec v_{BG} = \vec v_{BW} + \vec v_{WG}.
Para que o barco vá exatamente perpendicular às margens (trajeto mais curto), precisamos que a componente em x de \vec v_{BG} seja zero.

Passo 3

Se o barco aponta com um ângulo \alpha em relação ao eixo y, a sua velocidade em relação à água tem componentes:
v_{BW,x} = 20\cos\alpha, \quad v_{BW,y} = 20\sin\alpha.
A corrente adiciona v_{WG,x}=16 m/s. Impomos
v_{BG,x} = v_{BW,x} + v_{WG,x} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 20\cos\alpha + 16 = 0.
Logo,
20\cos\alpha = -16 \quad\Longrightarrow\quad \cos\alpha = \tfrac{16}{20}=0,8.
(Escolhemos o sinal de \alpha de modo que v_{BW,x} seja -16 m/s, cancelando a corrente.)

Passo 4

Com \cos\alpha=0,8 temos \sin\alpha=\sqrt{1-0,8^2}=0,6. A componente perpendicular do barco em relação ao solo é
v_{BG,y} = v_{BW,y} = 20\sin\alpha = 20 \times 0,6 = 12\text{ m/s}.
Como o barco se desloca a 12,m/s na direção da outra margem, para cruzar 324,m ele leva
\text{tempo} = \frac{\text{distância}}{\text{velocidade normal}} = \frac{324}{12} = 27\text{ s}.â

Resposta

27 segundos.

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