Um garoto segurando um guarda-chuva caminha horizontalmente com velocidade constante de 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Uma chuva com ausência de vento cai durante essa caminhada e para se proteger da maneira mais eficiente, o garoto inclina o guarda-chuva fazendo com que o cabo forme um ângulo \beta com a horizontal, de tal modo que \operatorname{tg} \beta=2 / 3. Determine a velocidade de queda das gotas de chuva. Suponha que essa velocidade é constante.

Passo 1

O enunciado descreve um garoto que caminha horizontalmente com velocidade constante de 6\\ \mathrm{m/s} e quer proteger-se da chuva inclinando o guarda-chuva de modo que o cabo forme um ângulo \beta com a horizontal, sabendo que
\tan\beta = \frac{2}{3}.
O objetivo é determinar a velocidade de queda constante das gotas de chuva em valor absoluto.

Passo 2

Para entender por que a inclinação do guarda-chuva depende da velocidade da chuva, usamos o conceito de velocidade relativa: no referencial do garoto, a chuva parece vir com uma velocidade resultante \vec v_{\mathrm{rel}}=\vec v_{\mathrm{chuva}}-\vec v_{\mathrm{menino}}.
Definindo
\vec v_{\mathrm{chuva}} = \bigl(0,\,-v\bigr), \quad \vec v_{\mathrm{menino}} = \bigl(6,\,0\bigr),
onde o eixo x é horizontal (positivo para frente) e o eixo y vertical (positivo para cima), e v é o módulo da velocidade de queda da chuva (positivo).

Passo 3

No referencial do garoto, a chuva tem componentes
v_x^{\mathrm{rel}} = 0 - 6 = -6, \quad v_y^{\mathrm{rel}} = -v - 0 = -v.
O cabo do guarda-chuva é alinhado com essa velocidade relativa, formando um ângulo \beta medido a partir da horizontal. Portanto
\tan\beta = \frac{\bigl|\text{componente vertical}\bigr|}{\bigl|\text{componente horizontal}\bigr|} = \frac{v}{6}.
Mas sabemos que \tan\beta = \tfrac{2}{3}.

Passo 4

Igualando as expressões de \tan\beta, temos
\frac{v}{6} = \frac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad v = 6 \times \frac{2}{3} = 4\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade de queda das gotas de chuva é de 4\\ \mathrm{m/s}.

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