\underline{3^{\mathrm{a}}} Questão: (Valor: 3.0)

Em um calorímetro adiabático se mesclam \mathbf{1 0 0 g} de mercúrio a \mathbf{1 0 0} \mathbf{~} \mathbf{C} com \mathbf{5 0 g} de gelo a \mathbf{0}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}. Determine a
a) variação da entropia do mercúrio,
b) variação da entropia da água e
c) variação da entropia do universo
sabendo que ambos líquidos são perfeitamente imiscíveis.
Dados (Dados: Calor latente de fusão do gelo \left(\mathrm{a} 0^{\circ} \mathrm{C}\right) : \mathrm{Ls}=80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}. Calor latente de vaporização da água(a 100^{\circ} \mathrm{C} ): \mathrm{Lv}=540 \mathrm{cal} / \mathrm{g}, calor específico do gelo 0,50 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C}; calor específico da água 1,0 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C}. Calor específico do mercúrio 0,033 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C}, \Delta S=\int_{i}^{f} \frac{d^{\prime} Q}{T} )
(Dados: \quad \eta=\frac{W}{Q_{\text {quente }}}=1-\frac{Q_{\text {fria }}}{Q_{\text {quente }}}, \eta_{c}=1-\frac{T_{\text {fria }}}{T_{\text {quente }}}, \mathrm{R}=8.31 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}, 1 \mathrm{~atm}=1.013 \cdot 10^{5} \mathrm{Pascal}, C_{p}=R+C_{v}, \gamma=\frac{C_{p}}{C_{v}}, P V^{\gamma}= cte processo adiabático, w^{\text {adiabático }}=\frac{P_{f} V_{f}-P_{i} V_{i}}{1-\gamma}=á cte, \Delta S=\int_{i}^{f} \frac{d^{\prime} Q}{T}

Passo 1

O enunciado trata de um calorímetro adiabático onde se mistura 100\,\mathrm g de mercúrio a 100\,^\circ\mathrm C com 50\,\mathrm g de gelo a 0\,^\circ\mathrm C. Como não há troca de calor com o meio externo, o calor cedido pelo mercúrio ao esfriar serve para aquecer e fundir parte do gelo, até atingir equilíbrio térmico. Vamos usar conservação de energia e depois calcular as variações de entropia por integração de \delta Q_{\mathrm{rev}}/T.

Passo 2

Determinar a temperatura final e a massa de gelo fundida. Seja T_f a temperatura de equilíbrio e m_f a massa de gelo fundida (a 0\,^\circ\mathrm C).
Calor cedido pelo mercúrio ao esfriar de 100\,^\circ\mathrm C a T_f:
Q_{\mathrm{Hg}} = m_{\mathrm{Hg}}\,c_{\mathrm{Hg}}\,(100 - T_f).
Calor absorvido pelo gelo (à 0\,^\circ\mathrm C): primeiro funde massa m_f e depois aquece a água formada (se T_f>0). Porém nota-se que a capacidade térmica do mercúrio é pequena:
Q_{\mathrm{Hg,\,max}} = 100\cdot0{,}033\cdot(100 - 0) = 330\\ \mathrm{cal}
Para fundir gelo são necessários 80\\ \mathrm{cal/g}, logo só é possível fundir
m_f = \frac{330}{80} = 4{,}125\\ \mathrm g,
e a temperatura final permanece T_f=0\,^\circ\mathrm C, pois não há calor suficiente para elevar a água acima de 0\,^\circ\mathrm C.

Passo 3

Calcular a variação de entropia do mercúrio, usando
\Delta S_{\mathrm{Hg}} = \int_{T_i}^{T_f} \frac{m_{\mathrm{Hg}}\,c_{\mathrm{Hg}}\,dT}{T} = m_{\mathrm{Hg}}\,c_{\mathrm{Hg}} \ln\frac{T_f}{T_i}.
Em Kelvin, T_i=373\\ \mathrm K, T_f=273\\ \mathrm K, m_{\mathrm{Hg}}=100\\ \mathrm g, c_{\mathrm{Hg}}=0{,}033\\ \mathrm{cal/(g\cdot K)}:
\Delta S_{\mathrm{Hg}} =100\cdot0{,}033\;\ln\frac{273}{373} =3{,}3\;\ln(0{,}7316) \approx3{,}3\times(-0{,}313) \approx-1{,}03\\ \mathrm{cal/K}.

Passo 4

Calcular a variação de entropia da água proveniente do gelo. Apenas a massa fundida m_f=4{,}125\\ \mathrm g sofre mudança de fase a 0\,^\circ\mathrm C, então
\Delta S_{\mathrm{água}} = \frac{m_f\,L_s}{T} = \frac{4{,}125\times80}{273} \approx\frac{330}{273} \approx1{,}21\\ \mathrm{cal/K}.á

Passo 5

A variação total de entropia do universo (sistema isolado) é
\Delta S_{\mathrm{univ}} =\Delta S_{\mathrm{Hg}}+\Delta S_{\mathrm{água}} \approx(-1{,}03)+(1{,}21) =0{,}18\\ \mathrm{cal/K}.á

Resposta

(a) \Delta S_{\mathrm{Hg}}\approx -1{,}03\\ \mathrm{cal/K}.
(b) \Delta S_{\mathrm{água}}\approx +1{,}21\\ \mathrm{cal/K}.á
(c) \Delta S_{\mathrm{univ}}\approx +0{,}18\\ \mathrm{cal/K}.

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