Considere uma barra com 40 cm de comprimento cuja temperatura inicial é dada por
.
Suponha que
que ambas extremidades da barra estão isoladas.
Encontre a temperatura de
Suponha que
Encontre a temperatura de
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma barra de 40 cm de comprimento, e no começo, toda ela está na temperatura zero, ou seja,
. A gente também sabe que
e que as duas extremidades da barra estão isoladas, o que significa que não tem troca de calor nas pontas. Nosso objetivo aqui é descobrir como a temperatura
da barra evolui com o tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual equação governa a distribuição de temperatura na barra. Isso é descrito pela equação do calor, que em uma dimensão é:
Aqui,
é a temperatura na posição
e no tempo
, e
é a difusividade térmica do material.
Passo 3
Como as extremidades da barra estão isoladas, isso implica condições de fronteira de Neumann, ou seja, a derivada da temperatura em relação a
nas pontas é zero:
onde
metros é o comprimento da barra.
Passo 4
Vamos assumir uma solução por separação de variáveis, ou seja, que a temperatura pode ser escrita como um produto de uma função de
e uma função de
:
Substituindo essa forma na equação do calor, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações:
Passo 5
Resolvendo a equação para
com as condições de fronteira, buscamos soluções do tipo cosseno, já que as derivadas nas extremidades devem ser zero:
Os valores de
correspondentes são:
Passo 6
Resolvendo a equação para
:
Passo 7
A solução geral é uma soma de todas essas soluções:
Passo 8
Aplicando a condição inicial
, temos:
Para que isso seja válido para todo
, todos os coeficientes
devem ser zero.
Passo 9
Portanto, a solução para a temperatura na barra ao longo do tempo é:
Resposta
A temperatura na barra para qualquer posição
e tempo
é zero: