Considere uma barra com 40 cm de comprimento cuja temperatura inicial é dada por u(x, 0)=0.
Suponha que alpha^2=14 que ambas extremidades da barra estão isoladas.
Encontre a temperatura de u(x, t)

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma barra de 40 cm de comprimento, e no começo, toda ela está na temperatura zero, ou seja, u(x, 0) = 0. A gente também sabe que alpha^2 = 14 e que as duas extremidades da barra estão isoladas, o que significa que não tem troca de calor nas pontas. Nosso objetivo aqui é descobrir como a temperatura u(x, t) da barra evolui com o tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual equação governa a distribuição de temperatura na barra. Isso é descrito pela equação do calor, que em uma dimensão é:
partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2
Aqui, u(x, t) é a temperatura na posição x e no tempo t, e alpha^2 é a difusividade térmica do material.

Passo 3

Como as extremidades da barra estão isoladas, isso implica condições de fronteira de Neumann, ou seja, a derivada da temperatura em relação a x nas pontas é zero:
partial upartial x(0, t) = 0 e partial upartial x(L, t) = 0
onde L = 0,4 metros é o comprimento da barra.

Passo 4

Vamos assumir uma solução por separação de variáveis, ou seja, que a temperatura pode ser escrita como um produto de uma função de x e uma função de t:
u(x, t) = X(x) T(t)
Substituindo essa forma na equação do calor, temos:
X(x) dTdt = alpha^2 T(t) d^2Xdx^2
Dividindo ambos os lados por X(x) T(t):
1T dTdt = alpha^2 1X d^2Xdx^2 = -lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações:
dTdt + alpha^2 lambda T = 0
d^2Xdx^2 + lambda X = 0

Passo 5

Resolvendo a equação para X(x) com as condições de fronteira, buscamos soluções do tipo cosseno, já que as derivadas nas extremidades devem ser zero:
Xn(x) = cos(n pi xL), n = 0, 1, 2, dots
Os valores de lambda correspondentes são:
lambdan = (n piL)^2

Passo 6

Resolvendo a equação para T(t):
Tn(t) = e^-alpha^2 lambdan t = e^-alpha^2 (n piL)^2 t

Passo 7

A solução geral é uma soma de todas essas soluções:
u(x, t) = sumn=0^infty An cos(n pi xL) e^-alpha^2 (n piL)^2 t

Passo 8

Aplicando a condição inicial u(x, 0) = 0, temos:
0 = sumn=0^infty An cos(n pi xL)
Para que isso seja válido para todo x, todos os coeficientes An devem ser zero.

Passo 9

Portanto, a solução para a temperatura na barra ao longo do tempo é:
u(x, t) = 0

Resposta

A temperatura na barra para qualquer posição x e tempo t é zero:
u(x, t) = 0

Exercícios relacionados