Considere uma barra com 40 cm de comprimento cuja temperatura inicial é dada por .
Suponha que que ambas extremidades da barra estão isoladas.
Calcule a distribuição estacionária de temperatura ou seja determinar a função obtida da solução quando .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra de 40 cm de comprimento com temperatura inicial igual a zero. O coeficiente é e ambas as extremidades da barra estão isoladas, ou seja, não deixam calor passar. Nosso objetivo é encontrar como a temperatura se distribui na barra quando o tempo vai para o infinito, ou seja, no estado estacionário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que estamos lidando com a equação do calor, que descreve como a temperatura varia no espaço e no tempo em um material. A equação é dada por:
Aqui, representa a temperatura na posição e no tempo , e é o coeficiente de difusão térmica.
Passo 3
Como queremos achar a distribuição estacionária de temperatura, vamos considerar o que acontece quando o tempo vai para o infinito. Nesse caso, a temperatura para de mudar no tempo, ou seja, . A equação do calor fica então:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial ordinária. A solução geral para é uma função linear:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 5
As condições de contorno nos dizem que as extremidades da barra estão isoladas. Isso significa que não há fluxo de calor nas extremidades, ou seja, a derivada da temperatura em relação ao espaço é zero nas posições e :
Calculando a derivada de u(x):
partial upartial x = C1
Aplicando as condições de contorno:
C1 = 0
Então, a função de temperatura fica:
u(x) = C2
Passo 6
A função u(x) é uma constante em todo o comprimento da barra. Para determinar o valor dessa constante, usamos a condição inicial que nos diz que, no tempo inicial t = 0, a temperatura é zero em toda a barra:
u(x, 0) = 0
Como a função estacionária é constante e inicialmente é zero, concluímos que:
C2 = 0
Resposta
A distribuição estacionária de temperatura na barra é u(x) = 0 em toda a sua extensão.