Considere uma barra com 40 cm de comprimento cuja temperatura inicial é dada por u(x, 0)=0.
Suponha que alpha^2=14 que ambas extremidades da barra estão isoladas.
Calcule a distribuição estacionária de temperatura ou seja determinar a função obtida da solução u(x, t) quando t infty.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra de 40 cm de comprimento com temperatura inicial igual a zero. O coeficiente alpha^2 é 14 e ambas as extremidades da barra estão isoladas, ou seja, não deixam calor passar. Nosso objetivo é encontrar como a temperatura se distribui na barra quando o tempo vai para o infinito, ou seja, no estado estacionário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que estamos lidando com a equação do calor, que descreve como a temperatura varia no espaço e no tempo em um material. A equação é dada por:
partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2
Aqui, u(x, t) representa a temperatura na posição x e no tempo t, e alpha^2 é o coeficiente de difusão térmica.

Passo 3

Como queremos achar a distribuição estacionária de temperatura, vamos considerar o que acontece quando o tempo t vai para o infinito. Nesse caso, a temperatura para de mudar no tempo, ou seja, partial upartial t = 0. A equação do calor fica então:
0 = alpha^2 partial^2 upartial x^2
Isso simplifica para:
partial^2 upartial x^2 = 0

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial ordinária. A solução geral para partial^2 upartial x^2 = 0 é uma função linear:
u(x) = C1x + C2
Onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 5

As condições de contorno nos dizem que as extremidades da barra estão isoladas. Isso significa que não há fluxo de calor nas extremidades, ou seja, a derivada da temperatura em relação ao espaço é zero nas posições x = 0 e x = 40 cm:
partial upartial x|x=0 = 0 e partial upartial x|x=40 = 0
Calculando a derivada de u(x):
partial upartial x = C1
Aplicando as condições de contorno:
C1 = 0
Então, a função de temperatura fica:
u(x) = C2

Passo 6

A função u(x) é uma constante em todo o comprimento da barra. Para determinar o valor dessa constante, usamos a condição inicial que nos diz que, no tempo inicial t = 0, a temperatura é zero em toda a barra:
u(x, 0) = 0
Como a função estacionária é constante e inicialmente é zero, concluímos que:
C2 = 0

Resposta

A distribuição estacionária de temperatura na barra é u(x) = 0 em toda a sua extensão.

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