Suponha que a função dada é estendida de modo periódica para toda reta de periodo
Esboce o gráfico de
Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o gráfico da função $ f(x) $ que é periódica com período $ 2\pi $. Isso significa que o padrão do gráfico se repete a cada intervalo de $ 2\pi $. A função é definida de forma diferente para os intervalos $ -\pi \leq x < 0 $ e $ 0 \leq x < \pi $. Vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e depois juntar tudo para desenhar o gráfico completo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando $ -\pi \leq x < 0 $. Aqui, $ f(x) = \pi - x $. Isso é uma equação linear, que representa uma reta. Para desenhar essa reta, precisamos de dois pontos. Vamos escolher $ x = -\pi $ e $ x = 0 $:
-
Quando $ x = -\pi $:Então, o ponto é $ (-\pi, 2\pi) $.
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Quando $ x = 0 $:Então, o ponto é $ (0, \pi) $.
Agora, conectamos esses dois pontos com uma reta.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte da função, quando $ 0 \leq x < \pi $. Aqui, $ f(x) = x $. Essa também é uma equação linear, representando outra reta. Vamos novamente escolher dois pontos, $ x = 0 $ e $ x = \pi $:
-
Quando $ x = 0 $:Então, o ponto é $ (0, 0) $.
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Quando $ x = \pi $:Então, o ponto é $ (\pi, \pi) $.
Conectamos esses pontos com uma reta.
Passo 4
Agora que temos as duas partes da função no intervalo de $ -\pi $ a $ \pi $, vamos lembrar que a função é periódica com período $ 2\pi $. Isso significa que, após $ x = \pi $, o padrão se repete. Então, para $ x $ fora desse intervalo, podemos simplesmente copiar o gráfico que criamos.
Passo 5
Para resumir, o gráfico de $ f(x) $ consiste em duas retas:
- De $ -\pi $ a $ 0 $, a reta vai de $ (-\pi, 2\pi) $ até $ (0, \pi) $.
- De $ 0 $ a $ \pi $, a reta vai de $ (0, 0) $ até $ (\pi, \pi) $.
Esse padrão se repete a cada $ 2\pi $ unidades no eixo $ x $.
Resposta
O gráfico de $ f(x) $ é uma função periódica de período $ 2\pi $, composta por duas retas que se repetem a cada $ 2\pi $. De $ -\pi $ a $ 0 $, a reta vai de $ (-\pi, 2\pi) $ a $ (0, \pi) $, e de $ 0 $ a $ \pi $, a reta vai de $ (0, 0) $ a $ (\pi, \pi) $. Esse padrão se repete indefinidamente ao longo de toda a reta.