Suponha que a função dada é estendida de modo periódica para toda reta de periodo 2 pi

Esboce o gráfico de f(x)=pi-x,-pi <= x<0 ; x, 0 <= x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o gráfico da função $ f(x) $ que é periódica com período $ 2\pi $. Isso significa que o padrão do gráfico se repete a cada intervalo de $ 2\pi $. A função é definida de forma diferente para os intervalos $ -\pi \leq x < 0 $ e $ 0 \leq x < \pi $. Vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e depois juntar tudo para desenhar o gráfico completo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando $ -\pi \leq x < 0 $. Aqui, $ f(x) = \pi - x $. Isso é uma equação linear, que representa uma reta. Para desenhar essa reta, precisamos de dois pontos. Vamos escolher $ x = -\pi $ e $ x = 0 $:
  • Quando $ x = -\pi $:
    -pi <= x < 0
    Então, o ponto é $ (-\pi, 2\pi) $.
  • Quando $ x = 0 $:
    f(x) = pi - x
    Então, o ponto é $ (0, \pi) $.
Agora, conectamos esses dois pontos com uma reta.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte da função, quando $ 0 \leq x < \pi $. Aqui, $ f(x) = x $. Essa também é uma equação linear, representando outra reta. Vamos novamente escolher dois pontos, $ x = 0 $ e $ x = \pi $:
  • Quando $ x = 0 $:
    0 <= x < pi
    Então, o ponto é $ (0, 0) $.
  • Quando $ x = \pi $:
    f(x) = x
    Então, o ponto é $ (\pi, \pi) $.
Conectamos esses pontos com uma reta.

Passo 4

Agora que temos as duas partes da função no intervalo de $ -\pi $ a $ \pi $, vamos lembrar que a função é periódica com período $ 2\pi $. Isso significa que, após $ x = \pi $, o padrão se repete. Então, para $ x $ fora desse intervalo, podemos simplesmente copiar o gráfico que criamos.

Passo 5

Para resumir, o gráfico de $ f(x) $ consiste em duas retas:
  1. De $ -\pi $ a $ 0 $, a reta vai de $ (-\pi, 2\pi) $ até $ (0, \pi) $.
  2. De $ 0 $ a $ \pi $, a reta vai de $ (0, 0) $ até $ (\pi, \pi) $.
Esse padrão se repete a cada $ 2\pi $ unidades no eixo $ x $.

Resposta

O gráfico de $ f(x) $ é uma função periódica de período $ 2\pi $, composta por duas retas que se repetem a cada $ 2\pi $. De $ -\pi $ a $ 0 $, a reta vai de $ (-\pi, 2\pi) $ a $ (0, \pi) $, e de $ 0 $ a $ \pi $, a reta vai de $ (0, 0) $ a $ (\pi, \pi) $. Esse padrão se repete indefinidamente ao longo de toda a reta.

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