The region bounded by the graph of
and the
-axis for
is revolved about the
-axis. Find the volume of the resulting solid.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que resulta quando a região delimitada pela curva $ f(x) = \frac{3}{1 + x^2} $ e o eixo $ x $ no intervalo de $ 0 \leq x \leq 3 $ é girada em torno do eixo $ y $. Isso está dentro da matéria de Cálculo, especificamente de volumes de sólidos de revolução. Para resolver, vamos usar o método dos cascos cilíndricos (também conhecido como método das cascas), que é bem útil quando a rotação é em torno de um eixo vertical como o $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos cascos. Quando giramos uma região em torno do eixo $ y $, cada pequeno pedaço da área se transforma em um cilindro. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, $ x $ é a distância do elemento ao eixo de rotação (no caso, o eixo $ y $), e $ f(x) $ é a altura do cilindro.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral $ \int \frac{3x}{1 + x^2} , dx $. Para isso, vamos fazer uma substituição simples:
Deixe $ u = 1 + x^2 $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Passo 5
Substituindo na integral:
Sabemos que $ \int \frac{1}{u} , du = \ln|u| + C $. Então:
Passo 6
Voltando à expressão do volume:
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = 0 $:
Então:
Resposta
O volume do sólido é $ 3\pi \ln(10) $ unidades cúbicas.