The region bounded by the graph of f(x)=3 /(1+x^2) and the x-axis for 0 <= x <= 3 is revolved about the y-axis. Find the volume of the resulting solid.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que resulta quando a região delimitada pela curva $ f(x) = \frac{3}{1 + x^2} $ e o eixo $ x $ no intervalo de $ 0 \leq x \leq 3 $ é girada em torno do eixo $ y $. Isso está dentro da matéria de Cálculo, especificamente de volumes de sólidos de revolução. Para resolver, vamos usar o método dos cascos cilíndricos (também conhecido como método das cascas), que é bem útil quando a rotação é em torno de um eixo vertical como o $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos cascos. Quando giramos uma região em torno do eixo $ y $, cada pequeno pedaço da área se transforma em um cilindro. A fórmula para o volume usando esse método é:
y
Aqui, $ x $ é a distância do elemento ao eixo de rotação (no caso, o eixo $ y $), e $ f(x) $ é a altura do cilindro.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso, temos:
V = 2pi integral0^3 x cdot 31 + x^2 , dx
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
V = 2pi integral0^3 3x1 + x^2 , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral $ \int \frac{3x}{1 + x^2} , dx $. Para isso, vamos fazer uma substituição simples:
Deixe $ u = 1 + x^2 $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
integral 3x1 + x^2 , dx

Passo 5

Substituindo na integral:
integral 3x1 + x^2 , dx = integral 3u cdot du2 = 32 integral 1u , du
Sabemos que $ \int \frac{1}{u} , du = \ln|u| + C $. Então:
integral 1u , du = ln|u| + C

Passo 6

Voltando à expressão do volume:
V = 2pi [ 32 ln(1 + x^2) ]0^3 = 3pi [ ln(1 + x^2) ]0^3

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para $ x = 3 $:
x = 3
Para $ x = 0 $:
ln(1 + 3^2) = ln(10)
Então:
x = 0

Resposta

O volume do sólido é $ 3\pi \ln(10) $ unidades cúbicas.

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