1. Considere uma barra de alumínio de coeficiente de dilatação linear igual a 22 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}. Calcule a variação de temperatura sofrida por esta barra para que atinja uma dilatação correspondente a 0,2 \% de seu tamanho inicial.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a variação de temperatura necessária para que uma barra de alumínio sofra uma dilatação igual a 0{,}2\% do seu comprimento inicial. Dados fornecidos: coeficiente de dilatação linear \alpha = 22 \times 10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1} e dilatação desejada relativa \dfrac{\Delta L}{L_0} = 0{,}2\%. O que devemos encontrar: a variação de temperatura \Delta T (em ^{\circ}\mathrm{C}) que causa essa dilatação relativa.

Passo 2

Apresentando a fórmula e explicando cada termo: a dilatação linear é dada por
\Delta L = \alpha L_0 \Delta T.
Aqui:
  • \Delta L é o aumento do comprimento (em metros, por exemplo).
  • L_0 é o comprimento inicial.
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade: ^\circ\mathrm{C}^{-1}).
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}).
Dividindo ambos os lados por L_0 obtemos a dilatação relativa:
\frac{\Delta L}{L_0} = \alpha\,\Delta T.
Isso significa que a fração do comprimento que aumenta é igual a \alpha vezes a variação de temperatura. Note que variação de temperatura em ^\circ\mathrm{C} e em K é equivalente (diferença de temperaturas), então usar ^\circ\mathrm{C} está correto.

Passo 3

Converter a dilatação dada em porcentagem para fração decimal: \,0{,}2\% = \dfrac{0{,}2}{100} = 0{,}002. Então
\frac{\Delta L}{L_0} = 0{,}002.

Passo 4

Isolando \Delta T na relação \dfrac{\Delta L}{L_0} = \alpha\,\Delta T, temos
\Delta T = \frac{\Delta L/L_0}{\alpha}.
Substituindo os valores numéricos:
\Delta T = \frac{0{,}002}{22\times 10^{-6}}.
Agora simplifico passo a passo:
\Delta T = \frac{2\times 10^{-3}}{22\times 10^{-6}} = \frac{2}{22}\times 10^{3} = \frac{1}{11}\times 10^{3}.
Portanto
\Delta T = \frac{1000}{11}\;^\circ\mathrm{C}\approx 90{,}909\ldots\;^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Interpretação e arredondamento: com os algarismos significativos do dado \alpha (dois algarismos), faz sentido reportar a resposta com duas casas significativas: \Delta T \approx 91\;^\circ\mathrm{C}. Vai dar trabalho na prova? Dá não — é só usar \Delta L/L_0=\alpha\Delta T e isolar \Delta T. Você tem isso!

Resposta

\Delta T \approx 91^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados