Utilize considerações semelhantes ao exercício anterior, para verificar que a variação de volume de um cubo de lado a é dado pela equação 1.19. Por que podemos considerar os termos de elevada ordem, desprezíveis em relação ao termo linear?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: verificar que a variação de volume de um cubo de lado a ao sofrer um pequeno aumento \Delta a é dada pela equação 1.19, e explicar por que os termos de ordem elevada podem ser desprezados em relação ao termo linear. As informações dadas são: o cubo tem lado inicial a e o lado passa a ser a+\Delta a, com \Delta a pequeno. A equação 1.19 que devemos obter (como pedido) é
\Delta V \approx 3a^{2}\Delta a.
Passo 2
Calcule o novo volume após o aumento do lado. O volume inicial é
V_{\text{inicial}}=a^{3}.
O novo volume, com lado a+\Delta a, é
V_{\text{novo}}=(a+\Delta a)^{3}.
Aqui usamos a expansão do cubo de uma soma, que vem diretamente do binômio de Newton:
(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}.
Aplicando com x=a e y=\Delta a obtemos a expansão do volume novo:
Defina a variação de volume \Delta V como a diferença entre o novo e o antigo volume:
\Delta V = V_{\text{novo}}-V_{\text{inicial}}.
Substituindo as expressões do passo anterior:
\Delta V = \bigl(a^{3}+3a^{2}\Delta a+3a(\Delta a)^{2}+(\Delta a)^{3}\bigr)-a^{3}.
Cancelando a^{3} obtemos a expressão exata da variação:
\Delta V = 3a^{2}\Delta a+3a(\Delta a)^{2}+(\Delta a)^{3}.
Passo 4
Mostre a aproximação linear (equação 1.19). Para variações pequenas \Delta a o termo dominante na soma acima é o termo que é proporcional a \Delta a, isto é 3a^{2}\Delta a. Os outros termos têm potências maiores de \Delta a e, portanto, crescem muito mais devagar quando \Delta a fica pequeno. Escrevemos então a aproximação linear:
\Delta V \approx 3a^{2}\Delta a,
que é a equação 1.19 pedida.
Passo 5
Explique rigorosamente por que os termos de ordem elevada são desprezíveis. Compare cada termo de ordem superior com o termo linear dividindo-os pelo termo linear e tomando o limite quando \Delta a\to 0.
Como ambas as razões tendem a zero quando \Delta a fica pequeno, os termos \,3a(\Delta a)^{2} e (\Delta a)^{3} se tornam irrelevantes frente a 3a^{2}\Delta a. Em palavras: para \Delta a suficientemente pequeno, os termos de ordem (\Delta a)^{2} e (\Delta a)^{3} são muito menores que o termo proporcional a \Delta a e podem ser desprezados na aproximação de primeira ordem.
Passo 6
Ilustração numérica rápida para intuir a diferença (opcional, mas útil): tome a=1 e \Delta a=0,01. Então
Vê-se que 0,0003 e 10^{-6} são muito menores que 0,03, justificando desprezá‑los na prática.
Resposta
\Delta V = 3a^{2}\Delta a + 3a(\Delta a)^{2} + (\Delta a)^{3} \approx 3a^{2}\Delta a.
Porque, quando \Delta a é pequeno, as razões \dfrac{3a(\Delta a)^{2}}{3a^{2}\Delta a}=\dfrac{\Delta a}{a} e \dfrac{(\Delta a)^{3}}{3a^{2}\Delta a}=\dfrac{(\Delta a)^{2}}{3a^{2}} tendem a 0, logo os termos de ordem superior são desprezíveis frente ao termo linear.