1. Utilize considerações semelhantes ao exercício anterior, para verificar que a variação de volume de um cubo de lado a é dado pela equação 1.19. Por que podemos considerar os termos de elevada ordem, desprezíveis em relação ao termo linear?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: verificar que a variação de volume de um cubo de lado a ao sofrer um pequeno aumento \Delta a é dada pela equação 1.19, e explicar por que os termos de ordem elevada podem ser desprezados em relação ao termo linear. As informações dadas são: o cubo tem lado inicial a e o lado passa a ser a+\Delta a, com \Delta a pequeno. A equação 1.19 que devemos obter (como pedido) é
\Delta V \approx 3a^{2}\Delta a.

Passo 2

Calcule o novo volume após o aumento do lado. O volume inicial é
V_{\text{inicial}}=a^{3}.
O novo volume, com lado a+\Delta a, é
V_{\text{novo}}=(a+\Delta a)^{3}.
Aqui usamos a expansão do cubo de uma soma, que vem diretamente do binômio de Newton:
(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}.
Aplicando com x=a e y=\Delta a obtemos a expansão do volume novo:
V_{\text{novo}}=a^{3}+3a^{2}\Delta a+3a(\Delta a)^{2}+(\Delta a)^{3}.

Passo 3

Defina a variação de volume \Delta V como a diferença entre o novo e o antigo volume:
\Delta V = V_{\text{novo}}-V_{\text{inicial}}.
Substituindo as expressões do passo anterior:
\Delta V = \bigl(a^{3}+3a^{2}\Delta a+3a(\Delta a)^{2}+(\Delta a)^{3}\bigr)-a^{3}.
Cancelando a^{3} obtemos a expressão exata da variação:
\Delta V = 3a^{2}\Delta a+3a(\Delta a)^{2}+(\Delta a)^{3}.

Passo 4

Mostre a aproximação linear (equação 1.19). Para variações pequenas \Delta a o termo dominante na soma acima é o termo que é proporcional a \Delta a, isto é 3a^{2}\Delta a. Os outros termos têm potências maiores de \Delta a e, portanto, crescem muito mais devagar quando \Delta a fica pequeno. Escrevemos então a aproximação linear:
\Delta V \approx 3a^{2}\Delta a,
que é a equação 1.19 pedida.

Passo 5

Explique rigorosamente por que os termos de ordem elevada são desprezíveis. Compare cada termo de ordem superior com o termo linear dividindo-os pelo termo linear e tomando o limite quando \Delta a\to 0.
Razão do termo quadrático sobre o linear:
\frac{3a(\Delta a)^{2}}{3a^{2}\Delta a}=\frac{\Delta a}{a}\xrightarrow{\Delta a\to 0}0.
Razão do termo cúbico sobre o linear:
\frac{(\Delta a)^{3}}{3a^{2}\Delta a}=\frac{(\Delta a)^{2}}{3a^{2}}\xrightarrow{\Delta a\to 0}0.
Como ambas as razões tendem a zero quando \Delta a fica pequeno, os termos \,3a(\Delta a)^{2} e (\Delta a)^{3} se tornam irrelevantes frente a 3a^{2}\Delta a. Em palavras: para \Delta a suficientemente pequeno, os termos de ordem (\Delta a)^{2} e (\Delta a)^{3} são muito menores que o termo proporcional a \Delta a e podem ser desprezados na aproximação de primeira ordem.

Passo 6

Ilustração numérica rápida para intuir a diferença (opcional, mas útil): tome a=1 e \Delta a=0,01. Então
\text{termo linear}=3\cdot1^{2}\cdot0,01=0,03,
\text{termo quadrático}=3\cdot1\cdot(0,01)^{2}=0,0003,á
\text{termo cúbico}=(0,01)^{3}=10^{-6}.ú
Vê-se que 0,0003 e 10^{-6} são muito menores que 0,03, justificando desprezá‑los na prática.

Resposta

\Delta V = 3a^{2}\Delta a + 3a(\Delta a)^{2} + (\Delta a)^{3} \approx 3a^{2}\Delta a.
Porque, quando \Delta a é pequeno, as razões \dfrac{3a(\Delta a)^{2}}{3a^{2}\Delta a}=\dfrac{\Delta a}{a} e \dfrac{(\Delta a)^{3}}{3a^{2}\Delta a}=\dfrac{(\Delta a)^{2}}{3a^{2}} tendem a 0, logo os termos de ordem superior são desprezíveis frente ao termo linear.

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