1. Considere dois fios metálicos de materiais diferentes A e B , que possuem, inicialmente, mesmo comprimento e mesma temperatura. Após elevarmos a temperatura de ambos em um incremento \Delta T, os comprimentos dos fios A e B aumentam em 4 \% e 6 \%. Determine a razão entre o coeficiente de dilatação do fio A pelo coeficiente do fio B.

Passo 1

O enunciado dá dois fios metálicos, A e B, que têm inicialmente o mesmo comprimento e a mesma temperatura. Após aumentarmos a temperatura de ambos em um incremento \Delta T, os comprimentos aumentam em 4\% (fio A) e 6\% (fio B). A pergunta é: determine a razão entre o coeficiente de dilatação do fio A pelo coeficiente do fio B, ou seja, calcule \dfrac{\alpha_A}{\alpha_B}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Aumento relativo do comprimento do fio A: 4\%.
  • Aumento relativo do comprimento do fio B: 6\%.
  • O incremento de temperatura é o mesmo para os dois fios: \Delta T.
  • Os comprimentos iniciais são os mesmos (mas isso não será necessário explicitamente, só confirma que usamos a mesma referência).

Passo 2

Aqui está a fórmula básica e o que cada símbolo significa. Para dilatação linear (aquela que aumenta o comprimento das barras/fios), usamos:
\Delta L = \alpha\, L_{0}\,\Delta T
Explicando cada coisa:
  • \Delta L é a variação do comprimento (quanto o fio cresceu).
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade típica: \text{K}^{-1} ou ^\circ\text{C}^{-1}). Ele indica a fração do comprimento que muda por unidade de temperatura.
  • L_{0} é o comprimento inicial (antes da mudança de temperatura).
  • \Delta T é o aumento de temperatura aplicado.
Da fórmula acima, dividindo ambos os lados por L_{0}, obtemos a variação relativa (fração do comprimento inicial):
\frac{\Delta L}{L_{0}}=\alpha\,\Delta T.
Isso significa que a fração de aumento do comprimento é simplesmente o coeficiente \alpha multiplicado pela elevação de temperatura \Delta T. Em provas, é comum usar essa forma porque transforma a questão em manipulação de frações/percentuais.

Passo 3

Convertemos os percentuais em decimais (usar vírgula como separador decimal conforme padrão):
  • 4\% corresponde a 0,04.
  • 6\% corresponde a 0,06.
Aplicando a relação \dfrac{\Delta L}{L_{0}}=\alpha\,\Delta T a cada fio:
  • Para o fio A:
\frac{\Delta L_{A}}{L_{0}}=0,04=\alpha_{A}\,\Delta T.
  • Para o fio B:
\frac{\Delta L_{B}}{L_{0}}=0,06=\alpha_{B}\,\Delta T.

Passo 4

Agora queremos \dfrac{\alpha_A}{\alpha_B}. Como ambas as equações têm o mesmo \Delta T, dividimos a equação de A pela de B para eliminar \Delta T:
\frac{\alpha_{A}}{\alpha_{B}}=\frac{0,04}{0,06}.
Fazendo a simplificação aritmética:
\frac{0,04}{0,06}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.

Passo 5

Interpretação e dica rápida para prova: a razão entre os coeficientes é simplesmente a razão entre as frações relativas de aumento (ou entre os percentuais). Isso é independente do comprimento inicial L_{0} e do incremento \Delta T. Na prova, basta transformar os percentuais em decimais e dividir.
Exemplo numérico rápido (para fixar): se \Delta T=10\\ \text{K}, então \alpha_{A}=0,04/10=0,004\\ \text{K}^{-1} e \alpha_{B}=0,06/10=0,006\\ \text{K}^{-1}. A razão é 0,004/0,006=2/3, mesma resposta.

Resposta

\dfrac{2}{3}

Exercícios relacionados