Considere dois materiais de mesmo calor específico e de massas
e
. Estes materiais estão nas respectivas temperaturas
e
antes de serem colocados em contato. Após estabelecermos o contato entre estes materiais, ambos entrarão em equilíbrio térmico a uma temperatura
. Em
termos das massas e das temperaturas iniciais, encontre uma expressão final para
.
termos das massas e das temperaturas iniciais, encontre uma expressão final para
Passo 1
O enunciado dá duas amostras de um mesmo material (logo com o mesmo calor específico) e pede a temperatura final de equilíbrio quando elas são colocadas em contato térmico. Informações e o que é pedido:
- Massas:
e . - Temperaturas iniciais:
(para a massa ) e (para a massa ). - Calor específico: o mesmo para ambas; chamo-o de
. - Estado final: após contato térmico atingem a mesma temperatura de equilíbrio
. - Pedido: encontrar uma expressão para
em termos de , , e .
Passo 2
Conceito físico usado (explicação didática): conservação de energia térmica num sistema isolado. Quando dois corpos são colocados em contato térmico sem troca de calor com o exterior, o calor perdido por um é igual ao calor ganho pelo outro. Isso significa que a soma dos calores trocados é zero. Vamos usar essa ideia para montar a equação que determina
.
Passo 3
Fórmula do calor sensível (a “fórmula básica” que precisamos): o calor trocado por um corpo ao mudar sua temperatura é
onde:
-
é o calor trocado (positivo se o corpo recebeu calor, negativo se perdeu calor), -
é a massa do corpo, -
é o calor específico do material (energia necessária para elevar a temperatura de unidade de massa por unidade de temperatura), -
é a variação de temperatura final menos inicial: .
Explicando em miúdos: se um corpo de massa
e calor específico
vai de
para
, o calor que ele recebeu é
.
Passo 4
Aplicando a fórmula aos dois corpos (cada um tem a mesma
):
- Para o corpo 1: o calor trocado é
. - Para o corpo 2: o calor trocado é
.
Lembrete sobre sinais: se
for menor que
, então
é negativo e
é negativo, indicando que o corpo 1 perdeu calor — tudo consistente com o físico que esperamos.
Passo 5
Conservação de energia no sistema isolado: a soma dos calores trocados é zero, ou seja,
Substituindo as expressões:
Passo 6
Simplificação algébrica da equação. Primeiro, fatoramos
(que é comum e assumimos não nulo):
Como
, podemos dividir ambos os lados por
, obtendo
Agora distribuímos:
Agrupando os termos com
:
Passo 7
Isolando
na equação:
logo
Interpretação física didática: a temperatura de equilíbrio é a média ponderada das temperaturas iniciais, ponderada pelas massas (já que os calores específicos são iguais). O corpo com maior massa “puxa” mais a temperatura final para perto da sua temperatura inicial.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar (faça isto na prova se quiser checar): suponha
,
,
,
. Então
Ou seja, a temperatura final fica mais próxima de
porque
é maior.