Considere dois materiais de mesmo calor específico e de massas m_{1} e m_{2}. Estes materiais estão nas respectivas temperaturas T_{1} e T_{2} antes de serem colocados em contato. Após estabelecermos o contato entre estes materiais, ambos entrarão em equilíbrio térmico a uma temperatura T. Em
termos das massas e das temperaturas iniciais, encontre uma expressão final para T. \mathrm{R}: T=\frac{m_{1} T_{1}+m_{2} T_{2}}{m_{1}+m_{2}}

Passo 1

O enunciado dá duas amostras de um mesmo material (logo com o mesmo calor específico) e pede a temperatura final de equilíbrio quando elas são colocadas em contato térmico. Informações e o que é pedido:
  • Massas: m_{1} e m_{2}.
  • Temperaturas iniciais: T_{1} (para a massa m_{1}) e T_{2} (para a massa m_{2}).
  • Calor específico: o mesmo para ambas; chamo-o de c.
  • Estado final: após contato térmico atingem a mesma temperatura de equilíbrio T.
  • Pedido: encontrar uma expressão para T em termos de m_{1}, m_{2}, T_{1} e T_{2}.

Passo 2

Conceito físico usado (explicação didática): conservação de energia térmica num sistema isolado. Quando dois corpos são colocados em contato térmico sem troca de calor com o exterior, o calor perdido por um é igual ao calor ganho pelo outro. Isso significa que a soma dos calores trocados é zero. Vamos usar essa ideia para montar a equação que determina T.

Passo 3

Fórmula do calor sensível (a “fórmula básica” que precisamos): o calor trocado por um corpo ao mudar sua temperatura é
Q = m\,c\,\Delta T
onde:
  • Q é o calor trocado (positivo se o corpo recebeu calor, negativo se perdeu calor),
  • m é a massa do corpo,
  • c é o calor específico do material (energia necessária para elevar a temperatura de 1 unidade de massa por 1 unidade de temperatura),
  • \Delta T é a variação de temperatura final menos inicial: \Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{inicial}}.
Explicando em miúdos: se um corpo de massa m e calor específico c vai de T_{\text{inicial}} para T_{\text{final}}, o calor que ele recebeu é m c (T_{\text{final}} - T_{\text{inicial}}).

Passo 4

Aplicando a fórmula aos dois corpos (cada um tem a mesma c):
  • Para o corpo 1: o calor trocado é Q_{1} = m_{1}\,c\,(T - T_{1}).
  • Para o corpo 2: o calor trocado é Q_{2} = m_{2}\,c\,(T - T_{2}).
Lembrete sobre sinais: se T for menor que T_{1}, então T-T_{1} é negativo e Q_{1} é negativo, indicando que o corpo 1 perdeu calor — tudo consistente com o físico que esperamos.

Passo 5

Conservação de energia no sistema isolado: a soma dos calores trocados é zero, ou seja,
Q_{1} + Q_{2} = 0.
Substituindo as expressões:
m_{1}\,c\,(T - T_{1}) + m_{2}\,c\,(T - T_{2}) = 0.

Passo 6

Simplificação algébrica da equação. Primeiro, fatoramos c (que é comum e assumimos não nulo):
c\bigl[m_{1}(T - T_{1}) + m_{2}(T - T_{2})\bigr] = 0.
Como c\neq 0, podemos dividir ambos os lados por c, obtendo
m_{1}(T - T_{1}) + m_{2}(T - T_{2}) = 0.
Agora distribuímos:
m_{1}T - m_{1}T_{1} + m_{2}T - m_{2}T_{2} = 0.
Agrupando os termos com T:
T(m_{1} + m_{2}) - (m_{1}T_{1} + m_{2}T_{2}) = 0.

Passo 7

Isolando T na equação:
T(m_{1} + m_{2}) = m_{1}T_{1} + m_{2}T_{2},
logo
T = \frac{m_{1}T_{1} + m_{2}T_{2}}{m_{1} + m_{2}}.
Interpretação física didática: a temperatura de equilíbrio é a média ponderada das temperaturas iniciais, ponderada pelas massas (já que os calores específicos são iguais). O corpo com maior massa “puxa” mais a temperatura final para perto da sua temperatura inicial.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar (faça isto na prova se quiser checar): suponha m_{1}=2\\ \mathrm{kg}, T_{1}=80^\circ\mathrm{C}, m_{2}=1\\ \mathrm{kg}, T_{2}=20^\circ\mathrm{C}. Então
T=\frac{2\cdot 80 + 1\cdot 20}{2+1}=\frac{160+20}{3}=\frac{180}{3}=60^\circ\mathrm{C}.
Ou seja, a temperatura final fica mais próxima de T_{1} porque m_{1} é maior.

Resposta

T=\frac{m_{1}T_{1}+m_{2}T_{2}}{m_{1}+m_{2}}

Exercícios relacionados