Considere uma barra de comprimento ell com uma distribuição inicial de temperaturas dada por f(x)=-cos (pi(2 x+ell)2 ell), 0 <= x <= ell, e com as extremidades térmicamente isoladas.
Determine a distribuição de temperaturas u(x, t) da barra em um instante t>0 qualquer.

Passo 1

O problema é a equação do calor unidimensional em uma barra de comprimento ell com extremidades isoladas (condições de Neumann) e condição inicial
f(x) = -cos!gl(pi,(2x+ell)2ellgr), 0<= x<= ell
O objetivo é encontrar u(x,t) para t>0. Vamos usar separação de variáveis, obter a expansão em séries de Fourier–cosseno e aplicar as condições de contorno.

Passo 2

A solução geral da equação do calor com coeficiente de difusividade unitária e Neumann em x=0 e x=ell é
u(x,t) = A0 + sumn=1^infty An,cos!l(tfracnpi xellr),exp!l(-(tfracnpiell)^2tr),
onde os coeficientes vêm da expansão de f(x) em cossenos.

Passo 3

Os coeficientes são dados por
A0 = 1ellintegral0^ellf(x),dx, An = 2ellintegral0^ellf(x),cos!l(tfracnpi xellr),dx,;n>=1

Passo 4

Começa-se simplificando f(x). Note que
-cos!l(tfracpi(2x+ell)2ellr) =-cos!l(tfracpi xell+tfracpi2r) =sin!l(tfracpi xellr)
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f(x)=sin!l(tfracpi xellr)

Passo 5

Calculamos A0:
A0 =1ellintegral0^ellsin!l(tfracpi xellr),dx =1elll[-ellpicos!l(tfracpi xellr)r]0^ell =-1pil(cospi-1r) =2pi

Passo 6

Para n>=1,
An =2ellintegral0^ellsin!l(tfracpi xellr)cos!l(tfracnpi xellr),dx
Usando a identidade sin Acos B=tfrac12[sin(A+B)+sin(A-B)] e integrando, obtém-se após simplificação
An =-2pi;n(-1)^n+1n^2-1,
com interpretação do limite para n=1 dando A1=0.

Passo 7

Portanto a solução é
u(x,t) =2pi +sumn=1^inftygl[ -2pi,n(-1)^n+1n^2-1 gr]cos!l(tfracnpi xellr), exp!l(-(tfracnpiell)^2tr)

Resposta

u(x,t) =2pi -2pi sumn=1^infty n(-1)^n+1n^2-1 ;cos!l(tfracnpi xellr) ;exp!l(-l(tfracnpiellr)^2tr)

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