Considere uma barra de comprimento
com uma distribuição inicial de temperaturas dada por
, e com as extremidades térmicamente isoladas.
Determine a distribuição de temperaturas
da barra em um instante
qualquer.
Determine a distribuição de temperaturas
Passo 1
O problema é a equação do calor unidimensional em uma barra de comprimento
com extremidades isoladas (condições de Neumann) e condição inicial
O objetivo é encontrar
para
. Vamos usar separação de variáveis, obter a expansão em séries de Fourier–cosseno e aplicar as condições de contorno.
Passo 2
A solução geral da equação do calor com coeficiente de difusividade unitária e Neumann em
e
é
onde os coeficientes vêm da expansão de
em cossenos.
Passo 3
Os coeficientes são dados por
Passo 4
Começa-se simplificando
. Note que
Logo
Passo 5
Calculamos
:
Passo 6
Para
,
Usando a identidade
e integrando, obtém-se após simplificação
com interpretação do limite para
dando
.
Passo 7
Portanto a solução é