Mostre que um campo gravitacional não tem spin (ou seja nabla times F=0 ). Faça isso de duas maneiras:
a) Usando a definição
F(x, y, z)=-G M mr^2 r=-G M m rr^3=-G M m(x(x^2+y^2+z^2)^3 / 2, y(x^2+y^2+z^2)^3 / 2, z(x^2+y^2+z^2)^3 / 2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo gravitacional de uma massa pontual
F(x,y,z)=-G M m,vec rr^3 com vec r=(x,y,z),;r=raizx^2+y^2+z^2
é um campo sem “spin”, ou seja
nablatimesvec F=0
Vamos fazer isso de duas formas: (a) calculando diretamente o rotacional via derivadas parciais; (b) usando que vec F é gradiente de um potencial escalar.

Passo 2

Primeiro definimos componentes e derivadas. Chamando Fj=-GMm,xj/r^3 com x1=x,;x2=y,;x3=z, temos
partial Fjpartial xi =-GMm;partialpartial xil(r^-3xjr) =-GMml(de<aijr^3-3,xi,xjr^5r),
onde de<aij é o delta de Kronecker.

Passo 3

Pela definição do rotacional em componentes:
(nablatimesvec F)k =varepsilonkij,partial Fjpartial xi =-GMm,varepsilonkijl(de<aijr^3-3,xi,xjr^5r)
Mas varepsilonkij,de<aij=0 (contrai simétrico com antissimétrico) e
varepsilonkij,xi,xj=0 (mesma razão). Logo
(nablatimesvec F)k=0 forall,k Longrightarrow nablatimesvec F=0

Passo 4

Método 2: note que o campo é conservativo, pois existe potencial escalar
U(r)=-G M mr,
de modo que
vec F=-nabla U
Como em cálculo vetorial vale sempre nablatimes(nabla U)=0, segue imediatamente
nablatimesvec F=-nablatimes(nabla U)=0

Resposta

Em ambas as abordagens encontramos
nablatimesvec F=0,
isto é, o campo gravitacional não tem spin.

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